Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49511 / 50200
↖ ↑ ↗
← S 68.704486°
E 91.972046°		 ← 221.82 m → S 68.704486°
E 91.977539°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 68.706481°
E 91.972046°		 ← 221.81 m →
49 193 m²		 S 68.706481°
E 91.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755485534667969 y=0.765998840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755485534667969 × 216)
    floor (0.755485534667969 × 65536)
    floor (49511.5)     		tx = 49511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765998840332031 × 216)
    floor (0.765998840332031 × 65536)
    floor (50200.5)     		ty = 50200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49511 / 50200 ti = "16/49511/50200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49511/50200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49511 ÷ 216
    49511 ÷ 65536     		x = 0.755477905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50200 ÷ 216
    50200 ÷ 65536     		y = 0.7659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755477905273438 × 2 - 1) × π
    0.510955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60521502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60521502} λ = 1.60521502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67127206835364))-π/2
    2×atan(0.188007754746059)-π/2
    2×0.185838415093209-π/2
    0.371676830186418-1.57079632675     		φ = -1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60521502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.972046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49511 KachelY 50200 1.60521502 -1.19911950 91.972046 -68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 49512 KachelY 50200 1.60531089 -1.19911950 91.977539 -68.704486
    Unten links KachelX 49511 KachelY + 1 50201 1.60521502 -1.19915431 91.972046 -68.706481
    Unten rechts KachelX + 1 49512 KachelY + 1 50201 1.60531089 -1.19915431 91.977539 -68.706481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19911950--1.19915431) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19911950--1.19915431) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60521502-1.60531089) × cos(-1.19911950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 221.82484828523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60521502-1.60531089) × cos(-1.19915431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		du = 221.805038372349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19911950)-sin(-1.19915431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.363145840939732)×R²
    abs(1.60531089-1.60521502)×3.24333816993927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24333816993927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24333816993927e-05×40589641000000     		ar = 49192.9003727799m²