Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49510 / 80627
↖ ↑ ↗
← S 38.244652°
W 44.016723°		 ← 239.82 m → S 38.244652°
W 44.013977°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.246809°
W 44.016723°		 ← 239.82 m →
57 525 m²		 S 38.246809°
W 44.013977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377735137939453 y=0.615139007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377735137939453 × 217)
    floor (0.377735137939453 × 131072)
    floor (49510.5)     		tx = 49510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615139007568359 × 217)
    floor (0.615139007568359 × 131072)
    floor (80627.5)     		ty = 80627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49510 / 80627 ti = "17/49510/80627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49510/80627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49510 ÷ 217
    49510 ÷ 131072     		x = 0.377731323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80627 ÷ 217
    80627 ÷ 131072     		y = 0.615135192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377731323242188 × 2 - 1) × π
    -0.244537353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76823675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615135192871094 × 2 - 1) × π
    -0.230270385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.723415752166267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76823675} λ = -0.76823675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723415752166267))-π/2
    2×atan(0.485092467214522)-π/2
    2×0.451650616717934-π/2
    0.903301233435868-1.57079632675     		φ = -0.66749509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76823675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.016723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66749509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.244652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49510 KachelY 80627 -0.76823675 -0.66749509 -44.016723 -38.244652
    Oben rechts KachelX + 1 49511 KachelY 80627 -0.76818882 -0.66749509 -44.013977 -38.244652
    Unten links KachelX 49510 KachelY + 1 80628 -0.76823675 -0.66753274 -44.016723 -38.246809
    Unten rechts KachelX + 1 49511 KachelY + 1 80628 -0.76818882 -0.66753274 -44.013977 -38.246809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66749509--0.66753274) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66749509--0.66753274) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76823675--0.76818882) × cos(-0.66749509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78537471919066 × 6371000     		do = 239.823618562887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76823675--0.76818882) × cos(-0.66753274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785351412506996 × 6371000     		du = 239.816501586651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66749509)-sin(-0.66753274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78537471919066-0.785351412506996)×R²
    abs(-0.76818882--0.76823675)×2.3306683664015e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3306683664015e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3306683664015e-05×40589641000000     		ar = 57525.1941498787m²