Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49509 / 80628
↖ ↑ ↗
← S 38.246809°
W 44.019470°		 ← 239.87 m → S 38.246809°
W 44.016723°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.248966°
W 44.019470°		 ← 239.86 m →
57 535 m²		 S 38.248966°
W 44.016723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377727508544922 y=0.615146636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377727508544922 × 217)
    floor (0.377727508544922 × 131072)
    floor (49509.5)     		tx = 49509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615146636962891 × 217)
    floor (0.615146636962891 × 131072)
    floor (80628.5)     		ty = 80628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49509 / 80628 ti = "17/49509/80628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49509/80628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49509 ÷ 217
    49509 ÷ 131072     		x = 0.377723693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80628 ÷ 217
    80628 ÷ 131072     		y = 0.615142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377723693847656 × 2 - 1) × π
    -0.244552612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76828469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.23028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.723463689065887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76828469} λ = -0.76828469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723463689065887))-π/2
    2×atan(0.485069213942964)-π/2
    2×0.451631792782741-π/2
    0.903263585565481-1.57079632675     		φ = -0.66753274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76828469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.019470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66753274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.246809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49509 KachelY 80628 -0.76828469 -0.66753274 -44.019470 -38.246809
    Oben rechts KachelX + 1 49510 KachelY 80628 -0.76823675 -0.66753274 -44.016723 -38.246809
    Unten links KachelX 49509 KachelY + 1 80629 -0.76828469 -0.66757039 -44.019470 -38.248966
    Unten rechts KachelX + 1 49510 KachelY + 1 80629 -0.76823675 -0.66757039 -44.016723 -38.248966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66753274--0.66757039) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66753274--0.66757039) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76828469--0.76823675) × cos(-0.66753274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785351412506996 × 6371000     		do = 239.866536324837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76828469--0.76823675) × cos(-0.66757039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785328104710079 × 6371000     		du = 239.859417523716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66753274)-sin(-0.66757039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785351412506996-0.785328104710079)×R²
    abs(-0.76823675--0.76828469)×2.33077969173934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33077969173934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33077969173934e-05×40589641000000     		ar = 57535.488535142m²