Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49508 / 80590
↖ ↑ ↗
← S 38.164796°
W 44.022217°		 ← 240.14 m → S 38.164796°
W 44.019470°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
S 38.166955°
W 44.022217°		 ← 240.13 m →
57 662 m²		 S 38.166955°
W 44.019470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377719879150391 y=0.614856719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377719879150391 × 217)
    floor (0.377719879150391 × 131072)
    floor (49508.5)     		tx = 49508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614856719970703 × 217)
    floor (0.614856719970703 × 131072)
    floor (80590.5)     		ty = 80590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49508 / 80590 ti = "17/49508/80590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49508/80590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49508 ÷ 217
    49508 ÷ 131072     		x = 0.377716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80590 ÷ 217
    80590 ÷ 131072     		y = 0.614852905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.24456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76833263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614852905273438 × 2 - 1) × π
    -0.229705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.721642086880325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76833263} λ = -0.76833263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721642086880325))-π/2
    2×atan(0.485953622358827)-π/2
    2×0.452347494922225-π/2
    0.904694989844449-1.57079632675     		φ = -0.66610134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76833263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.022217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66610134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.164796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49508 KachelY 80590 -0.76833263 -0.66610134 -44.022217 -38.164796
    Oben rechts KachelX + 1 49509 KachelY 80590 -0.76828469 -0.66610134 -44.019470 -38.164796
    Unten links KachelX 49508 KachelY + 1 80591 -0.76833263 -0.66613903 -44.022217 -38.166955
    Unten rechts KachelX + 1 49509 KachelY + 1 80591 -0.76828469 -0.66613903 -44.019470 -38.166955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66610134--0.66613903) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dl = 240.122989999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66610134--0.66613903) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dr = 240.122989999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76833263--0.76828469) × cos(-0.66610134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786236716115347 × 6371000     		do = 240.136930834542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76833263--0.76828469) × cos(-0.66613903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786213425947786 × 6371000     		du = 240.12981741788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66610134)-sin(-0.66613903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786236716115347-0.786213425947786)×R²
    abs(-0.76828469--0.76833263)×2.32901675604191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32901675604191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32901675604191e-05×40589641000000     		ar = 57661.5438007655m²