Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49503 / 50271
↖ ↑ ↗
← S 68.845683°
E 91.928101°		 ← 220.42 m → S 68.845683°
E 91.933594°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 68.847665°
E 91.928101°		 ← 220.40 m →
48 587 m²		 S 68.847665°
E 91.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755363464355469 y=0.767082214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755363464355469 × 216)
    floor (0.755363464355469 × 65536)
    floor (49503.5)     		tx = 49503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767082214355469 × 216)
    floor (0.767082214355469 × 65536)
    floor (50271.5)     		ty = 50271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49503 / 50271 ti = "16/49503/50271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49503/50271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49503 ÷ 216
    49503 ÷ 65536     		x = 0.755355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50271 ÷ 216
    50271 ÷ 65536     		y = 0.767074584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755355834960938 × 2 - 1) × π
    0.510711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60444803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767074584960938 × 2 - 1) × π
    -0.534149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67807910809969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60444803} λ = 1.60444803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67807910809969))-π/2
    2×atan(0.186732324364424)-π/2
    2×0.184606243364017-π/2
    0.369212486728033-1.57079632675     		φ = -1.20158384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60444803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20158384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.845683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49503 KachelY 50271 1.60444803 -1.20158384 91.928101 -68.845683
    Oben rechts KachelX + 1 49504 KachelY 50271 1.60454390 -1.20158384 91.933594 -68.845683
    Unten links KachelX 49503 KachelY + 1 50272 1.60444803 -1.20161844 91.928101 -68.847665
    Unten rechts KachelX + 1 49504 KachelY + 1 50272 1.60454390 -1.20161844 91.933594 -68.847665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20158384--1.20161844) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20158384--1.20161844) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60444803-1.60454390) × cos(-1.20158384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360881099811919 × 6371000     		do = 220.421762189265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60444803-1.60454390) × cos(-1.20161844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360848831226474 × 6371000     		du = 220.40205293192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20158384)-sin(-1.20161844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360881099811919-0.360848831226474)×R²
    abs(1.60454390-1.60444803)×3.22685854454163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22685854454163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22685854454163e-05×40589641000000     		ar = 48586.851506648m²