Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49501 / 80753
↖ ↑ ↗
← S 38.515937°
W 44.041443°		 ← 238.98 m → S 38.515937°
W 44.038696°		 →
↑
238.98 m
↓
↑
238.98 m
↓
S 38.518086°
W 44.041443°		 ← 238.97 m →
57 109 m²		 S 38.518086°
W 44.038696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377666473388672 y=0.616100311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377666473388672 × 217)
    floor (0.377666473388672 × 131072)
    floor (49501.5)     		tx = 49501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616100311279297 × 217)
    floor (0.616100311279297 × 131072)
    floor (80753.5)     		ty = 80753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49501 / 80753 ti = "17/49501/80753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49501/80753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49501 ÷ 217
    49501 ÷ 131072     		x = 0.377662658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80753 ÷ 217
    80753 ÷ 131072     		y = 0.616096496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377662658691406 × 2 - 1) × π
    -0.244674682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.76866819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616096496582031 × 2 - 1) × π
    -0.232192993164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.729455801518395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76866819} λ = -0.76866819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729455801518395))-π/2
    2×atan(0.48217131560298)-π/2
    2×0.449283203100203-π/2
    0.898566406200405-1.57079632675     		φ = -0.67222992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76866819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.041443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67222992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.515937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49501 KachelY 80753 -0.76866819 -0.67222992 -44.041443 -38.515937
    Oben rechts KachelX + 1 49502 KachelY 80753 -0.76862025 -0.67222992 -44.038696 -38.515937
    Unten links KachelX 49501 KachelY + 1 80754 -0.76866819 -0.67226743 -44.041443 -38.518086
    Unten rechts KachelX + 1 49502 KachelY + 1 80754 -0.76862025 -0.67226743 -44.038696 -38.518086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67222992--0.67226743) × R
    3.75099999999629e-05 × 6371000     		dl = 238.976209999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67222992--0.67226743) × R
    3.75099999999629e-05 × 6371000     		dr = 238.976209999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76866819--0.76862025) × cos(-0.67222992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782434969163515 × 6371000     		do = 238.975779458487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76866819--0.76862025) × cos(-0.67226743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782411609924457 × 6371000     		du = 238.968644945612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67222992)-sin(-0.67226743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782434969163515-0.782411609924457)×R²
    abs(-0.76862025--0.76866819)×2.33592390577186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33592390577186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33592390577186e-05×40589641000000     		ar = 57108.6735739664m²