Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49501 / 80733
↖ ↑ ↗
← S 38.472944°
W 44.041443°		 ← 239.12 m → S 38.472944°
W 44.038696°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 38.475095°
W 44.041443°		 ← 239.11 m →
57 173 m²		 S 38.475095°
W 44.038696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377666473388672 y=0.615947723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377666473388672 × 217)
    floor (0.377666473388672 × 131072)
    floor (49501.5)     		tx = 49501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615947723388672 × 217)
    floor (0.615947723388672 × 131072)
    floor (80733.5)     		ty = 80733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49501 / 80733 ti = "17/49501/80733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49501/80733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49501 ÷ 217
    49501 ÷ 131072     		x = 0.377662658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80733 ÷ 217
    80733 ÷ 131072     		y = 0.615943908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377662658691406 × 2 - 1) × π
    -0.244674682617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.76866819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615943908691406 × 2 - 1) × π
    -0.231887817382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.728497063525993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76866819} λ = -0.76866819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728497063525993))-π/2
    2×atan(0.482633813233694)-π/2
    2×0.449658390119736-π/2
    0.899316780239472-1.57079632675     		φ = -0.67147955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76866819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.041443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67147955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.472944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49501 KachelY 80733 -0.76866819 -0.67147955 -44.041443 -38.472944
    Oben rechts KachelX + 1 49502 KachelY 80733 -0.76862025 -0.67147955 -44.038696 -38.472944
    Unten links KachelX 49501 KachelY + 1 80734 -0.76866819 -0.67151708 -44.041443 -38.475095
    Unten rechts KachelX + 1 49502 KachelY + 1 80734 -0.76862025 -0.67151708 -44.038696 -38.475095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67147955--0.67151708) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dl = 239.103629999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67147955--0.67151708) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dr = 239.103629999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76866819--0.76862025) × cos(-0.67147955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782902028479555 × 6371000     		do = 239.118431395712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76866819--0.76862025) × cos(-0.67151708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782878678825966 × 6371000     		du = 239.111299810486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67147955)-sin(-0.67151708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782902028479555-0.782878678825966)×R²
    abs(-0.76862025--0.76866819)×2.33496535889666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33496535889666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33496535889666e-05×40589641000000     		ar = 57173.2323593627m²