Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49500 / 80732
↖ ↑ ↗
← S 38.470794°
W 44.044189°		 ← 239.08 m → S 38.470794°
W 44.041443°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 38.472944°
W 44.044189°		 ← 239.07 m →
57 163 m²		 S 38.472944°
W 44.041443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377658843994141 y=0.615940093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377658843994141 × 217)
    floor (0.377658843994141 × 131072)
    floor (49500.5)     		tx = 49500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615940093994141 × 217)
    floor (0.615940093994141 × 131072)
    floor (80732.5)     		ty = 80732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49500 / 80732 ti = "17/49500/80732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49500/80732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49500 ÷ 217
    49500 ÷ 131072     		x = 0.377655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80732 ÷ 217
    80732 ÷ 131072     		y = 0.615936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.24468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76871612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.23187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728449126626373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76871612} λ = -0.76871612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728449126626373))-π/2
    2×atan(0.482656949756894)-π/2
    2×0.449677155347581-π/2
    0.899354310695163-1.57079632675     		φ = -0.67144202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76871612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.044189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67144202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.470794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49500 KachelY 80732 -0.76871612 -0.67144202 -44.044189 -38.470794
    Oben rechts KachelX + 1 49501 KachelY 80732 -0.76866819 -0.67144202 -44.041443 -38.470794
    Unten links KachelX 49500 KachelY + 1 80733 -0.76871612 -0.67147955 -44.044189 -38.472944
    Unten rechts KachelX + 1 49501 KachelY + 1 80733 -0.76866819 -0.67147955 -44.041443 -38.472944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67144202--0.67147955) × R
    3.75300000000633e-05 × 6371000     		dl = 239.103630000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67144202--0.67147955) × R
    3.75300000000633e-05 × 6371000     		dr = 239.103630000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76871612--0.76866819) × cos(-0.67144202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.782925377030426 × 6371000     		do = 239.075682468673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76871612--0.76866819) × cos(-0.67147955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.782902028479555 × 6371000     		du = 239.068552707781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67144202)-sin(-0.67147955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782925377030426-0.782902028479555)×R²
    abs(-0.76866819--0.76871612)×2.33485508708275e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33485508708275e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33485508708275e-05×40589641000000     		ar = 57163.0111540659m²