Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49494 / 80822
↖ ↑ ↗
← S 38.664067°
W 44.060669°		 ← 238.43 m → S 38.664067°
W 44.057923°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 38.666212°
W 44.060669°		 ← 238.43 m →
56 858 m²		 S 38.666212°
W 44.057923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377613067626953 y=0.616626739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377613067626953 × 217)
    floor (0.377613067626953 × 131072)
    floor (49494.5)     		tx = 49494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616626739501953 × 217)
    floor (0.616626739501953 × 131072)
    floor (80822.5)     		ty = 80822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49494 / 80822 ti = "17/49494/80822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49494/80822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49494 ÷ 217
    49494 ÷ 131072     		x = 0.377609252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80822 ÷ 217
    80822 ÷ 131072     		y = 0.616622924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.244781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76900374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616622924804688 × 2 - 1) × π
    -0.233245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.732763447592178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76900374} λ = -0.76900374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732763447592178))-π/2
    2×atan(0.480579098241428)-π/2
    2×0.44799052733584-π/2
    0.89598105467168-1.57079632675     		φ = -0.67481527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76900374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.060669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67481527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.664067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49494 KachelY 80822 -0.76900374 -0.67481527 -44.060669 -38.664067
    Oben rechts KachelX + 1 49495 KachelY 80822 -0.76895581 -0.67481527 -44.057923 -38.664067
    Unten links KachelX 49494 KachelY + 1 80823 -0.76900374 -0.67485270 -44.060669 -38.666212
    Unten rechts KachelX + 1 49495 KachelY + 1 80823 -0.76895581 -0.67485270 -44.057923 -38.666212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67481527--0.67485270) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67481527--0.67485270) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76900374--0.76895581) × cos(-0.67481527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78082237509223 × 6371000     		do = 238.433505527731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76900374--0.76895581) × cos(-0.67485270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780798990037256 × 6371000     		du = 238.426364619872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67481527)-sin(-0.67485270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78082237509223-0.780798990037256)×R²
    abs(-0.76895581--0.76900374)×2.33850549741232e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33850549741232e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33850549741232e-05×40589641000000     		ar = 56857.5592717528m²