Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49493 / 80821
↖ ↑ ↗
← S 38.661922°
W 44.063415°		 ← 238.49 m → S 38.661922°
W 44.060669°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 38.664067°
W 44.063415°		 ← 238.48 m →
56 871 m²		 S 38.664067°
W 44.060669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377605438232422 y=0.616619110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377605438232422 × 217)
    floor (0.377605438232422 × 131072)
    floor (49493.5)     		tx = 49493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616619110107422 × 217)
    floor (0.616619110107422 × 131072)
    floor (80821.5)     		ty = 80821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49493 / 80821 ti = "17/49493/80821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49493/80821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49493 ÷ 217
    49493 ÷ 131072     		x = 0.377601623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80821 ÷ 217
    80821 ÷ 131072     		y = 0.616615295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377601623535156 × 2 - 1) × π
    -0.244796752929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76905168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616615295410156 × 2 - 1) × π
    -0.233230590820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.732715510692558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76905168} λ = -0.76905168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732715510692558))-π/2
    2×atan(0.480602136265601)-π/2
    2×0.448009242717961-π/2
    0.896018485435923-1.57079632675     		φ = -0.67477784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76905168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.063415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67477784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.661922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49493 KachelY 80821 -0.76905168 -0.67477784 -44.063415 -38.661922
    Oben rechts KachelX + 1 49494 KachelY 80821 -0.76900374 -0.67477784 -44.060669 -38.661922
    Unten links KachelX 49493 KachelY + 1 80822 -0.76905168 -0.67481527 -44.063415 -38.664067
    Unten rechts KachelX + 1 49494 KachelY + 1 80822 -0.76900374 -0.67481527 -44.060669 -38.664067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67477784--0.67481527) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67477784--0.67481527) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76905168--0.76900374) × cos(-0.67477784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.780845759053268 × 6371000     		do = 238.49039378455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76905168--0.76900374) × cos(-0.67481527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78082237509223 × 6371000     		du = 238.483251720945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67477784)-sin(-0.67481527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780845759053268-0.78082237509223)×R²
    abs(-0.76900374--0.76905168)×2.33839610381814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33839610381814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33839610381814e-05×40589641000000     		ar = 56871.1250792405m²