Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49488 / 80720
↖ ↑ ↗
← S 38.444984°
W 44.077149°		 ← 239.21 m → S 38.444984°
W 44.074402°		 →
↑
239.23 m
↓
↑
239.23 m
↓
S 38.447136°
W 44.077149°		 ← 239.20 m →
57 226 m²		 S 38.447136°
W 44.074402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377567291259766 y=0.615848541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377567291259766 × 217)
    floor (0.377567291259766 × 131072)
    floor (49488.5)     		tx = 49488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615848541259766 × 217)
    floor (0.615848541259766 × 131072)
    floor (80720.5)     		ty = 80720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49488 / 80720 ti = "17/49488/80720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49488/80720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49488 ÷ 217
    49488 ÷ 131072     		x = 0.3775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80720 ÷ 217
    80720 ÷ 131072     		y = 0.6158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.727873883830933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76929137} λ = -0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727873883830933))-π/2
    2×atan(0.482934674561849)-π/2
    2×0.449902381730118-π/2
    0.899804763460236-1.57079632675     		φ = -0.67099156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67099156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.444984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49488 KachelY 80720 -0.76929137 -0.67099156 -44.077149 -38.444984
    Oben rechts KachelX + 1 49489 KachelY 80720 -0.76924343 -0.67099156 -44.074402 -38.444984
    Unten links KachelX 49488 KachelY + 1 80721 -0.76929137 -0.67102911 -44.077149 -38.447136
    Unten rechts KachelX + 1 49489 KachelY + 1 80721 -0.76924343 -0.67102911 -44.074402 -38.447136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67099156--0.67102911) × R
    3.75499999999418e-05 × 6371000     		dl = 239.231049999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67099156--0.67102911) × R
    3.75499999999418e-05 × 6371000     		dr = 239.231049999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76929137--0.76924343) × cos(-0.67099156) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.783205535793179 × 6371000     		do = 239.211130342125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76929137--0.76924343) × cos(-0.67102911) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.783182188044585 × 6371000     		du = 239.203999338734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67099156)-sin(-0.67102911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783205535793179-0.783182188044585)×R²
    abs(-0.76924343--0.76929137)×2.3347748594027e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3347748594027e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3347748594027e-05×40589641000000     		ar = 57225.8769112595m²