Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49487 / 80511
↖ ↑ ↗
← S 37.993998°
W 44.079895°		 ← 240.65 m → S 37.993998°
W 44.077149°		 →
↑
240.70 m
↓
↑
240.70 m
↓
S 37.996163°
W 44.079895°		 ← 240.64 m →
57 922 m²		 S 37.996163°
W 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377559661865234 y=0.614253997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377559661865234 × 217)
    floor (0.377559661865234 × 131072)
    floor (49487.5)     		tx = 49487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614253997802734 × 217)
    floor (0.614253997802734 × 131072)
    floor (80511.5)     		ty = 80511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49487 / 80511 ti = "17/49487/80511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49487/80511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49487 ÷ 217
    49487 ÷ 131072     		x = 0.377555847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80511 ÷ 217
    80511 ÷ 131072     		y = 0.614250183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377555847167969 × 2 - 1) × π
    -0.244888305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76933930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614250183105469 × 2 - 1) × π
    -0.228500366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.717855071810341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76933930} λ = -0.76933930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717855071810341))-π/2
    2×atan(0.487797425100826)-π/2
    2×0.453837981126362-π/2
    0.907675962252723-1.57079632675     		φ = -0.66312036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76933930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.079895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66312036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.993998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49487 KachelY 80511 -0.76933930 -0.66312036 -44.079895 -37.993998
    Oben rechts KachelX + 1 49488 KachelY 80511 -0.76929137 -0.66312036 -44.077149 -37.993998
    Unten links KachelX 49487 KachelY + 1 80512 -0.76933930 -0.66315814 -44.079895 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 49488 KachelY + 1 80512 -0.76929137 -0.66315814 -44.077149 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66312036--0.66315814) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66312036--0.66315814) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76933930--0.76929137) × cos(-0.66312036) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.788075243367304 × 6371000     		do = 240.648256106974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76933930--0.76929137) × cos(-0.66315814) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 240.641154261282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66312036)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788075243367304-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.76929137--0.76933930)×2.32571341372001e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.32571341372001e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.32571341372001e-05×40589641000000     		ar = 57922.3094109005m²