Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49486 / 80788
↖ ↑ ↗
← S 38.591114°
W 44.082642°		 ← 238.73 m → S 38.591114°
W 44.079895°		 →
↑
238.72 m
↓
↑
238.72 m
↓
S 38.593261°
W 44.082642°		 ← 238.72 m →
56 988 m²		 S 38.593261°
W 44.079895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377552032470703 y=0.616367340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377552032470703 × 217)
    floor (0.377552032470703 × 131072)
    floor (49486.5)     		tx = 49486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616367340087891 × 217)
    floor (0.616367340087891 × 131072)
    floor (80788.5)     		ty = 80788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49486 / 80788 ti = "17/49486/80788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49486/80788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49486 ÷ 217
    49486 ÷ 131072     		x = 0.377548217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80788 ÷ 217
    80788 ÷ 131072     		y = 0.616363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.244903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76938724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.23272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.731133593005096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76938724} λ = -0.76938724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731133593005096))-π/2
    2×atan(0.481363010947478)-π/2
    2×0.448627164702858-π/2
    0.897254329405716-1.57079632675     		φ = -0.67354200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76938724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67354200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.591114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49486 KachelY 80788 -0.76938724 -0.67354200 -44.082642 -38.591114
    Oben rechts KachelX + 1 49487 KachelY 80788 -0.76933930 -0.67354200 -44.079895 -38.591114
    Unten links KachelX 49486 KachelY + 1 80789 -0.76938724 -0.67357947 -44.082642 -38.593261
    Unten rechts KachelX + 1 49487 KachelY + 1 80789 -0.76933930 -0.67357947 -44.079895 -38.593261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67354200--0.67357947) × R
    3.74699999999839e-05 × 6371000     		dl = 238.721369999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67354200--0.67357947) × R
    3.74699999999839e-05 × 6371000     		dr = 238.721369999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76938724--0.76933930) × cos(-0.67354200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.78161722129822 × 6371000     		do = 238.726018212149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76938724--0.76933930) × cos(-0.67357947) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.781593848522949 × 6371000     		du = 238.718879564966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67354200)-sin(-0.67357947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78161722129822-0.781593848522949)×R²
    abs(-0.76933930--0.76938724)×2.33727752713131e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33727752713131e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33727752713131e-05×40589641000000     		ar = 56988.1500550625m²