Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49484 / 80812
↖ ↑ ↗
← S 38.642618°
W 44.088135°		 ← 238.50 m → S 38.642618°
W 44.085388°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
S 38.644763°
W 44.088135°		 ← 238.50 m →
56 890 m²		 S 38.644763°
W 44.085388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377536773681641 y=0.616550445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377536773681641 × 217)
    floor (0.377536773681641 × 131072)
    floor (49484.5)     		tx = 49484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616550445556641 × 217)
    floor (0.616550445556641 × 131072)
    floor (80812.5)     		ty = 80812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49484 / 80812 ti = "17/49484/80812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49484/80812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49484 ÷ 217
    49484 ÷ 131072     		x = 0.377532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80812 ÷ 217
    80812 ÷ 131072     		y = 0.616546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.23309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732284078595978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76948311} λ = -0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732284078595978))-π/2
    2×atan(0.48080952818742)-π/2
    2×0.448177706377701-π/2
    0.896355412755402-1.57079632675     		φ = -0.67444091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67444091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.642618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49484 KachelY 80812 -0.76948311 -0.67444091 -44.088135 -38.642618
    Oben rechts KachelX + 1 49485 KachelY 80812 -0.76943518 -0.67444091 -44.085388 -38.642618
    Unten links KachelX 49484 KachelY + 1 80813 -0.76948311 -0.67447835 -44.088135 -38.644763
    Unten rechts KachelX + 1 49485 KachelY + 1 80813 -0.76943518 -0.67447835 -44.085388 -38.644763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67444091--0.67447835) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dl = 238.530240000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67444091--0.67447835) × R
    3.74400000000552e-05 × 6371000     		dr = 238.530240000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76948311--0.76943518) × cos(-0.67444091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781056202937733 × 6371000     		do = 238.504907673304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76948311--0.76943518) × cos(-0.67447835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.781032822580447 × 6371000     		du = 238.497768199941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67444091)-sin(-0.67447835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781056202937733-0.781032822580447)×R²
    abs(-0.76943518--0.76948311)×2.33803572861069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33803572861069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33803572861069e-05×40589641000000     		ar = 56889.7813849474m²