Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49483 / 80787
↖ ↑ ↗
← S 38.588967°
W 44.090881°		 ← 238.73 m → S 38.588967°
W 44.088135°		 →
↑
238.72 m
↓
↑
238.72 m
↓
S 38.591114°
W 44.090881°		 ← 238.73 m →
56 990 m²		 S 38.591114°
W 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377529144287109 y=0.616359710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377529144287109 × 217)
    floor (0.377529144287109 × 131072)
    floor (49483.5)     		tx = 49483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616359710693359 × 217)
    floor (0.616359710693359 × 131072)
    floor (80787.5)     		ty = 80787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49483 / 80787 ti = "17/49483/80787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49483/80787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49483 ÷ 217
    49483 ÷ 131072     		x = 0.377525329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80787 ÷ 217
    80787 ÷ 131072     		y = 0.616355895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377525329589844 × 2 - 1) × π
    -0.244949340820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76953105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616355895996094 × 2 - 1) × π
    -0.232711791992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.731085656105476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76953105} λ = -0.76953105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.731085656105476))-π/2
    2×atan(0.481386086550897)-π/2
    2×0.44864589913612-π/2
    0.89729179827224-1.57079632675     		φ = -0.67350453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76953105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.090881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67350453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.588967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49483 KachelY 80787 -0.76953105 -0.67350453 -44.090881 -38.588967
    Oben rechts KachelX + 1 49484 KachelY 80787 -0.76948311 -0.67350453 -44.088135 -38.588967
    Unten links KachelX 49483 KachelY + 1 80788 -0.76953105 -0.67354200 -44.090881 -38.591114
    Unten rechts KachelX + 1 49484 KachelY + 1 80788 -0.76948311 -0.67354200 -44.088135 -38.591114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67350453--0.67354200) × R
    3.74699999999839e-05 × 6371000     		dl = 238.721369999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67350453--0.67354200) × R
    3.74699999999839e-05 × 6371000     		dr = 238.721369999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76953105--0.76948311) × cos(-0.67350453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7816405929761 × 6371000     		do = 238.733156523608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76953105--0.76948311) × cos(-0.67354200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78161722129822 × 6371000     		du = 238.726018211596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67350453)-sin(-0.67354200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7816405929761-0.78161722129822)×R²
    abs(-0.76948311--0.76953105)×2.33716778801352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33716778801352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33716778801352e-05×40589641000000     		ar = 56989.8541626098m²