Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49480 / 80760
↖ ↑ ↗
← S 38.530979°
W 44.099121°		 ← 238.93 m → S 38.530979°
W 44.096374°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
S 38.533127°
W 44.099121°		 ← 238.92 m →
57 066 m²		 S 38.533127°
W 44.096374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377506256103516 y=0.616153717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377506256103516 × 217)
    floor (0.377506256103516 × 131072)
    floor (49480.5)     		tx = 49480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616153717041016 × 217)
    floor (0.616153717041016 × 131072)
    floor (80760.5)     		ty = 80760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49480 / 80760 ti = "17/49480/80760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49480/80760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49480 ÷ 217
    49480 ÷ 131072     		x = 0.37750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80760 ÷ 217
    80760 ÷ 131072     		y = 0.61614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.729791359815735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76967486} λ = -0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729791359815735))-π/2
    2×atan(0.482009546160348)-π/2
    2×0.449151940543743-π/2
    0.898303881087485-1.57079632675     		φ = -0.67249245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67249245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.530979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49480 KachelY 80760 -0.76967486 -0.67249245 -44.099121 -38.530979
    Oben rechts KachelX + 1 49481 KachelY 80760 -0.76962692 -0.67249245 -44.096374 -38.530979
    Unten links KachelX 49480 KachelY + 1 80761 -0.76967486 -0.67252994 -44.099121 -38.533127
    Unten rechts KachelX + 1 49481 KachelY + 1 80761 -0.76962692 -0.67252994 -44.096374 -38.533127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67249245--0.67252994) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67249245--0.67252994) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76967486--0.76962692) × cos(-0.67249245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782271456290852 × 6371000     		do = 238.925838418354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76967486--0.76962692) × cos(-0.67252994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782248101807026 × 6371000     		du = 238.91870535785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67249245)-sin(-0.67252994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782271456290852-0.782248101807026)×R²
    abs(-0.76962692--0.76967486)×2.33544838257327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33544838257327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33544838257327e-05×40589641000000     		ar = 57066.2955511368m²