Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49477 / 80819
↖ ↑ ↗
← S 38.657633°
W 44.107361°		 ← 238.50 m → S 38.657633°
W 44.104614°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 38.659778°
W 44.107361°		 ← 238.50 m →
56 875 m²		 S 38.659778°
W 44.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377483367919922 y=0.616603851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377483367919922 × 217)
    floor (0.377483367919922 × 131072)
    floor (49477.5)     		tx = 49477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616603851318359 × 217)
    floor (0.616603851318359 × 131072)
    floor (80819.5)     		ty = 80819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49477 / 80819 ti = "17/49477/80819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49477/80819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49477 ÷ 217
    49477 ÷ 131072     		x = 0.377479553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80819 ÷ 217
    80819 ÷ 131072     		y = 0.616600036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377479553222656 × 2 - 1) × π
    -0.245040893554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76981867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616600036621094 × 2 - 1) × π
    -0.233200073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.732619636893318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76981867} λ = -0.76981867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732619636893318))-π/2
    2×atan(0.480648215627194)-π/2
    2×0.448046675163647-π/2
    0.896093350327293-1.57079632675     		φ = -0.67470298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76981867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.107361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67470298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.657633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49477 KachelY 80819 -0.76981867 -0.67470298 -44.107361 -38.657633
    Oben rechts KachelX + 1 49478 KachelY 80819 -0.76977073 -0.67470298 -44.104614 -38.657633
    Unten links KachelX 49477 KachelY + 1 80820 -0.76981867 -0.67474041 -44.107361 -38.659778
    Unten rechts KachelX + 1 49478 KachelY + 1 80820 -0.76977073 -0.67474041 -44.104614 -38.659778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67470298--0.67474041) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67470298--0.67474041) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76981867--0.76977073) × cos(-0.67470298) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.780892523693405 × 6371000     		do = 238.504676909922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76981867--0.76977073) × cos(-0.67474041) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.780869141920337 × 6371000     		du = 238.49753551458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67470298)-sin(-0.67474041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780892523693405-0.780869141920337)×R²
    abs(-0.76977073--0.76981867)×2.3381773067932e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3381773067932e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3381773067932e-05×40589641000000     		ar = 56874.5312061075m²