Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49473 / 58433
↖ ↑ ↗
← N 19.142574°
W 44.118347°		 ← 288.54 m → N 19.142574°
W 44.115600°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.139979°
W 44.118347°		 ← 288.54 m →
83 256 m²		 N 19.139979°
W 44.115600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377452850341797 y=0.445812225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377452850341797 × 217)
    floor (0.377452850341797 × 131072)
    floor (49473.5)     		tx = 49473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445812225341797 × 217)
    floor (0.445812225341797 × 131072)
    floor (58433.5)     		ty = 58433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49473 / 58433 ti = "17/49473/58433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49473/58433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49473 ÷ 217
    49473 ÷ 131072     		x = 0.377449035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58433 ÷ 217
    58433 ÷ 131072     		y = 0.445808410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377449035644531 × 2 - 1) × π
    -0.245101928710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77001042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445808410644531 × 2 - 1) × π
    0.108383178710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.340495798001259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77001042} λ = -0.77001042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340495798001259))-π/2
    2×atan(1.40564433347847)-π/2
    2×0.952448630880102-π/2
    1.9048972617602-1.57079632675     		φ = 0.33410094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77001042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.118347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33410094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.142574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49473 KachelY 58433 -0.77001042 0.33410094 -44.118347 19.142574
    Oben rechts KachelX + 1 49474 KachelY 58433 -0.76996248 0.33410094 -44.115600 19.142574
    Unten links KachelX 49473 KachelY + 1 58434 -0.77001042 0.33405565 -44.118347 19.139979
    Unten rechts KachelX + 1 49474 KachelY + 1 58434 -0.76996248 0.33405565 -44.115600 19.139979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33410094-0.33405565) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33410094-0.33405565) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77001042--0.76996248) × cos(0.33410094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944705511115094 × 6371000     		do = 288.537379814216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77001042--0.76996248) × cos(0.33405565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944720361640994 × 6371000     		du = 288.541915547079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33410094)-sin(0.33405565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944705511115094-0.944720361640994)×R²
    abs(-0.76996248--0.77001042)×1.48505259007781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48505259007781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48505259007781e-05×40589641000000     		ar = 83255.9772737493m²