Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49471 / 80715
↖ ↑ ↗
← S 38.434228°
W 44.123840°		 ← 239.20 m → S 38.434228°
W 44.121094°		 →
↑
239.23 m
↓
↑
239.23 m
↓
S 38.436380°
W 44.123840°		 ← 239.19 m →
57 222 m²		 S 38.436380°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377437591552734 y=0.615810394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377437591552734 × 217)
    floor (0.377437591552734 × 131072)
    floor (49471.5)     		tx = 49471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615810394287109 × 217)
    floor (0.615810394287109 × 131072)
    floor (80715.5)     		ty = 80715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49471 / 80715 ti = "17/49471/80715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49471/80715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49471 ÷ 217
    49471 ÷ 131072     		x = 0.377433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80715 ÷ 217
    80715 ÷ 131072     		y = 0.615806579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.245132446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77010629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615806579589844 × 2 - 1) × π
    -0.231613159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.727634199332832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77010629} λ = -0.77010629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727634199332832))-π/2
    2×atan(0.48305044039002)-π/2
    2×0.44999624983646-π/2
    0.89999249967292-1.57079632675     		φ = -0.67080383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77010629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.123840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67080383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.434228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49471 KachelY 80715 -0.77010629 -0.67080383 -44.123840 -38.434228
    Oben rechts KachelX + 1 49472 KachelY 80715 -0.77005836 -0.67080383 -44.121094 -38.434228
    Unten links KachelX 49471 KachelY + 1 80716 -0.77010629 -0.67084138 -44.123840 -38.436380
    Unten rechts KachelX + 1 49472 KachelY + 1 80716 -0.77005836 -0.67084138 -44.121094 -38.436380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67080383--0.67084138) × R
    3.75500000000528e-05 × 6371000     		dl = 239.231050000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67080383--0.67084138) × R
    3.75500000000528e-05 × 6371000     		dr = 239.231050000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.67080383) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.783322245538347 × 6371000     		do = 239.196871041341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77010629--0.77005836) × cos(-0.67084138) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.783298903311103 × 6371000     		du = 239.189743211444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67080383)-sin(-0.67084138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783322245538347-0.783298903311103)×R²
    abs(-0.77005836--0.77010629)×2.33422272443162e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.33422272443162e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.33422272443162e-05×40589641000000     		ar = 57222.4660236875m²