Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49470 / 80631
↖ ↑ ↗
← S 38.253280°
W 44.126587°		 ← 239.85 m → S 38.253280°
W 44.123840°		 →
↑
239.80 m
↓
↑
239.80 m
↓
S 38.255436°
W 44.126587°		 ← 239.84 m →
57 515 m²		 S 38.255436°
W 44.123840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377429962158203 y=0.615169525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377429962158203 × 217)
    floor (0.377429962158203 × 131072)
    floor (49470.5)     		tx = 49470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615169525146484 × 217)
    floor (0.615169525146484 × 131072)
    floor (80631.5)     		ty = 80631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49470 / 80631 ti = "17/49470/80631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49470/80631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49470 ÷ 217
    49470 ÷ 131072     		x = 0.377426147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80631 ÷ 217
    80631 ÷ 131072     		y = 0.615165710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377426147460938 × 2 - 1) × π
    -0.245147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77015423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615165710449219 × 2 - 1) × π
    -0.230331420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.723607499764748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77015423} λ = -0.77015423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723607499764748))-π/2
    2×atan(0.484999460816054)-π/2
    2×0.451575324328793-π/2
    0.903150648657585-1.57079632675     		φ = -0.66764568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77015423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66764568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.253280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49470 KachelY 80631 -0.77015423 -0.66764568 -44.126587 -38.253280
    Oben rechts KachelX + 1 49471 KachelY 80631 -0.77010629 -0.66764568 -44.123840 -38.253280
    Unten links KachelX 49470 KachelY + 1 80632 -0.77015423 -0.66768332 -44.126587 -38.255436
    Unten rechts KachelX + 1 49471 KachelY + 1 80632 -0.77010629 -0.66768332 -44.123840 -38.255436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66764568--0.66768332) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dl = 239.804439999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66764568--0.66768332) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dr = 239.804439999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77015423--0.77010629) × cos(-0.66764568) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.785281491968006 × 6371000     		do = 239.84518079303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77015423--0.77010629) × cos(-0.66768332) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.785258187023507 × 6371000     		du = 239.838062863111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66764568)-sin(-0.66768332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785281491968006-0.785258187023507)×R²
    abs(-0.77010629--0.77015423)×2.33049444986477e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33049444986477e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33049444986477e-05×40589641000000     		ar = 57515.0858178242m²