Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49469 / 80717
↖ ↑ ↗
← S 38.438531°
W 44.129334°		 ← 239.23 m → S 38.438531°
W 44.126587°		 →
↑
239.23 m
↓
↑
239.23 m
↓
S 38.440682°
W 44.129334°		 ← 239.23 m →
57 231 m²		 S 38.440682°
W 44.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377422332763672 y=0.615825653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377422332763672 × 217)
    floor (0.377422332763672 × 131072)
    floor (49469.5)     		tx = 49469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615825653076172 × 217)
    floor (0.615825653076172 × 131072)
    floor (80717.5)     		ty = 80717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49469 / 80717 ti = "17/49469/80717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49469/80717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49469 ÷ 217
    49469 ÷ 131072     		x = 0.377418518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80717 ÷ 217
    80717 ÷ 131072     		y = 0.615821838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377418518066406 × 2 - 1) × π
    -0.245162963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77020217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615821838378906 × 2 - 1) × π
    -0.231643676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.727730073132072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77020217} λ = -0.77020217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727730073132072))-π/2
    2×atan(0.483004130729052)-π/2
    2×0.449958700915461-π/2
    0.899917401830923-1.57079632675     		φ = -0.67087892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77020217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.129334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67087892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.438531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49469 KachelY 80717 -0.77020217 -0.67087892 -44.129334 -38.438531
    Oben rechts KachelX + 1 49470 KachelY 80717 -0.77015423 -0.67087892 -44.126587 -38.438531
    Unten links KachelX 49469 KachelY + 1 80718 -0.77020217 -0.67091647 -44.129334 -38.440682
    Unten rechts KachelX + 1 49470 KachelY + 1 80718 -0.77015423 -0.67091647 -44.126587 -38.440682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67087892--0.67091647) × R
    3.75499999999418e-05 × 6371000     		dl = 239.231049999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67087892--0.67091647) × R
    3.75499999999418e-05 × 6371000     		dr = 239.231049999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77020217--0.77015423) × cos(-0.67087892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.783275566196152 × 6371000     		do = 239.232519429222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77020217--0.77015423) × cos(-0.67091647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.783252221760328 × 6371000     		du = 239.225389437635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67087892)-sin(-0.67091647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783275566196152-0.783252221760328)×R²
    abs(-0.77015423--0.77020217)×2.33444358240797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33444358240797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33444358240797e-05×40589641000000     		ar = 57230.9939661883m²