Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49468 / 80721
↖ ↑ ↗
← S 38.447136°
W 44.132080°		 ← 239.15 m → S 38.447136°
W 44.129334°		 →
↑
239.17 m
↓
↑
239.17 m
↓
S 38.449287°
W 44.132080°		 ← 239.15 m →
57 197 m²		 S 38.449287°
W 44.129334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377414703369141 y=0.615856170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377414703369141 × 217)
    floor (0.377414703369141 × 131072)
    floor (49468.5)     		tx = 49468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615856170654297 × 217)
    floor (0.615856170654297 × 131072)
    floor (80721.5)     		ty = 80721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49468 / 80721 ti = "17/49468/80721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49468/80721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49468 ÷ 217
    49468 ÷ 131072     		x = 0.377410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80721 ÷ 217
    80721 ÷ 131072     		y = 0.615852355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615852355957031 × 2 - 1) × π
    -0.231704711914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.727921820730553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77025010} λ = -0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727921820730553))-π/2
    2×atan(0.482911524725702)-π/2
    2×0.44988360978735-π/2
    0.899767219574701-1.57079632675     		φ = -0.67102911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67102911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.447136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49468 KachelY 80721 -0.77025010 -0.67102911 -44.132080 -38.447136
    Oben rechts KachelX + 1 49469 KachelY 80721 -0.77020217 -0.67102911 -44.129334 -38.447136
    Unten links KachelX 49468 KachelY + 1 80722 -0.77025010 -0.67106665 -44.132080 -38.449287
    Unten rechts KachelX + 1 49469 KachelY + 1 80722 -0.77020217 -0.67106665 -44.129334 -38.449287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67102911--0.67106665) × R
    3.75400000000026e-05 × 6371000     		dl = 239.167340000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67102911--0.67106665) × R
    3.75400000000026e-05 × 6371000     		dr = 239.167340000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77025010--0.77020217) × cos(-0.67102911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783182188044585 × 6371000     		do = 239.154102801283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77025010--0.77020217) × cos(-0.67106665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783158845409919 × 6371000     		du = 239.146974846975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67102911)-sin(-0.67106665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783182188044585-0.783158845409919)×R²
    abs(-0.77020217--0.77025010)×2.33426346658572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33426346658572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33426346658572e-05×40589641000000     		ar = 57196.9982367613m²