Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49468 / 50748
↖ ↑ ↗
← S 69.771356°
E 91.735840°		 ← 211.19 m → S 69.771356°
E 91.741333°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
S 69.773255°
E 91.735840°		 ← 211.17 m →
44 601 m²		 S 69.773255°
E 91.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754829406738281 y=0.774360656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754829406738281 × 216)
    floor (0.754829406738281 × 65536)
    floor (49468.5)     		tx = 49468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774360656738281 × 216)
    floor (0.774360656738281 × 65536)
    floor (50748.5)     		ty = 50748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49468 / 50748 ti = "16/49468/50748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49468/50748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49468 ÷ 216
    49468 ÷ 65536     		x = 0.75482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50748 ÷ 216
    50748 ÷ 65536     		y = 0.77435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75482177734375 × 2 - 1) × π
    0.5096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60109245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.5487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60109245} λ = 1.60109245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72381091033722))-π/2
    2×atan(0.178385041519377)-π/2
    2×0.176528222991307-π/2
    0.353056445982614-1.57079632675     		φ = -1.21773988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60109245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21773988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.771356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49468 KachelY 50748 1.60109245 -1.21773988 91.735840 -69.771356
    Oben rechts KachelX + 1 49469 KachelY 50748 1.60118832 -1.21773988 91.741333 -69.771356
    Unten links KachelX 49468 KachelY + 1 50749 1.60109245 -1.21777303 91.735840 -69.773255
    Unten rechts KachelX + 1 49469 KachelY + 1 50749 1.60118832 -1.21777303 91.741333 -69.773255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21773988--1.21777303) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dl = 211.19864999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21773988--1.21777303) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dr = 211.19864999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60109245-1.60118832) × cos(-1.21773988) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.345767344050933 × 6371000     		do = 211.190465012176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60109245-1.60118832) × cos(-1.21777303) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.345736238543743 × 6371000     		du = 211.171466148805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21773988)-sin(-1.21777303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345767344050933-0.345736238543743)×R²
    abs(1.60118832-1.60109245)×3.11055071900435e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.11055071900435e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.11055071900435e-05×40589641000000     		ar = 44601.1348401008m²