Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49465 / 80724
↖ ↑ ↗
← S 38.453589°
W 44.140320°		 ← 239.13 m → S 38.453589°
W 44.137573°		 →
↑
239.17 m
↓
↑
239.17 m
↓
S 38.455739°
W 44.140320°		 ← 239.13 m →
57 192 m²		 S 38.455739°
W 44.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377391815185547 y=0.615879058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377391815185547 × 217)
    floor (0.377391815185547 × 131072)
    floor (49465.5)     		tx = 49465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615879058837891 × 217)
    floor (0.615879058837891 × 131072)
    floor (80724.5)     		ty = 80724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49465 / 80724 ti = "17/49465/80724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49465/80724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49465 ÷ 217
    49465 ÷ 131072     		x = 0.377388000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80724 ÷ 217
    80724 ÷ 131072     		y = 0.615875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377388000488281 × 2 - 1) × π
    -0.245223999023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.77039391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.23175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.728065631429413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77039391} λ = -0.77039391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728065631429413))-π/2
    2×atan(0.482842081875275)-π/2
    2×0.449827297316225-π/2
    0.89965459463245-1.57079632675     		φ = -0.67114173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77039391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.140320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67114173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.453589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49465 KachelY 80724 -0.77039391 -0.67114173 -44.140320 -38.453589
    Oben rechts KachelX + 1 49466 KachelY 80724 -0.77034598 -0.67114173 -44.137573 -38.453589
    Unten links KachelX 49465 KachelY + 1 80725 -0.77039391 -0.67117927 -44.140320 -38.455739
    Unten rechts KachelX + 1 49466 KachelY + 1 80725 -0.77034598 -0.67117927 -44.137573 -38.455739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67114173--0.67117927) × R
    3.75400000000026e-05 × 6371000     		dl = 239.167340000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67114173--0.67117927) × R
    3.75400000000026e-05 × 6371000     		dr = 239.167340000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77039391--0.77034598) × cos(-0.67114173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783112156829616 × 6371000     		do = 239.132717927316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77039391--0.77034598) × cos(-0.67117927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783088810884046 × 6371000     		du = 239.125588961985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67114173)-sin(-0.67117927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783112156829616-0.783088810884046)×R²
    abs(-0.77034598--0.77039391)×2.33459455706297e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33459455706297e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33459455706297e-05×40589641000000     		ar = 57191.8835525847m²