Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49462 / 80610
↖ ↑ ↗
← S 38.207972°
W 44.148559°		 ← 239.94 m → S 38.207972°
W 44.145813°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
S 38.210130°
W 44.148559°		 ← 239.94 m →
57 585 m²		 S 38.210130°
W 44.145813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377368927001953 y=0.615009307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377368927001953 × 217)
    floor (0.377368927001953 × 131072)
    floor (49462.5)     		tx = 49462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615009307861328 × 217)
    floor (0.615009307861328 × 131072)
    floor (80610.5)     		ty = 80610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49462 / 80610 ti = "17/49462/80610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49462/80610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49462 ÷ 217
    49462 ÷ 131072     		x = 0.377365112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80610 ÷ 217
    80610 ÷ 131072     		y = 0.615005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.245269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77053772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615005493164062 × 2 - 1) × π
    -0.230010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.722600824872726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77053772} λ = -0.77053772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722600824872726))-π/2
    2×atan(0.485487943426239)-π/2
    2×0.45197070907199-π/2
    0.903941418143981-1.57079632675     		φ = -0.66685491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77053772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.148559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66685491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.207972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49462 KachelY 80610 -0.77053772 -0.66685491 -44.148559 -38.207972
    Oben rechts KachelX + 1 49463 KachelY 80610 -0.77048979 -0.66685491 -44.145813 -38.207972
    Unten links KachelX 49462 KachelY + 1 80611 -0.77053772 -0.66689258 -44.148559 -38.210130
    Unten rechts KachelX + 1 49463 KachelY + 1 80611 -0.77048979 -0.66689258 -44.145813 -38.210130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66685491--0.66689258) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66685491--0.66689258) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77053772--0.77048979) × cos(-0.66685491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785770842860498 × 6371000     		do = 239.94457969084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77053772--0.77048979) × cos(-0.66689258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785747542740093 × 6371000     		du = 239.937464718773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66685491)-sin(-0.66689258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785770842860498-0.785747542740093)×R²
    abs(-0.77048979--0.77053772)×2.33001204050787e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33001204050787e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33001204050787e-05×40589641000000     		ar = 57584.7823973235m²