Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49456 / 80305
↖ ↑ ↗
← S 37.546755°
W 44.165039°		 ← 242.16 m → S 37.546755°
W 44.162293°		 →
↑
242.10 m
↓
↑
242.10 m
↓
S 37.548932°
W 44.165039°		 ← 242.15 m →
58 625 m²		 S 37.548932°
W 44.162293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377323150634766 y=0.612682342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377323150634766 × 217)
    floor (0.377323150634766 × 131072)
    floor (49456.5)     		tx = 49456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612682342529297 × 217)
    floor (0.612682342529297 × 131072)
    floor (80305.5)     		ty = 80305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49456 / 80305 ti = "17/49456/80305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49456/80305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49456 ÷ 217
    49456 ÷ 131072     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80305 ÷ 217
    80305 ÷ 131072     		y = 0.612678527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612678527832031 × 2 - 1) × π
    -0.225357055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.707980070488609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707980070488609))-π/2
    2×atan(0.492638287742669)-π/2
    2×0.457740914331973-π/2
    0.915481828663946-1.57079632675     		φ = -0.65531450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65531450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.546755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49456 KachelY 80305 -0.77082535 -0.65531450 -44.165039 -37.546755
    Oben rechts KachelX + 1 49457 KachelY 80305 -0.77077741 -0.65531450 -44.162293 -37.546755
    Unten links KachelX 49456 KachelY + 1 80306 -0.77082535 -0.65535250 -44.165039 -37.548932
    Unten rechts KachelX + 1 49457 KachelY + 1 80306 -0.77077741 -0.65535250 -44.162293 -37.548932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65531450--0.65535250) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dl = 242.097999999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65531450--0.65535250) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dr = 242.097999999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77077741) × cos(-0.65531450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792856308302506 × 6371000     		do = 242.158724676802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77077741) × cos(-0.65535250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792833150202252 × 6371000     		du = 242.151651596895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65531450)-sin(-0.65535250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792856308302506-0.792833150202252)×R²
    abs(-0.77077741--0.77082535)×2.31581002539949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31581002539949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31581002539949e-05×40589641000000     		ar = 58625.286744468m²