Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49456 / 80303
↖ ↑ ↗
← S 37.542399°
W 44.165039°		 ← 242.17 m → S 37.542399°
W 44.162293°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
S 37.544577°
W 44.165039°		 ← 242.17 m →
58 644 m²		 S 37.544577°
W 44.162293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377323150634766 y=0.612667083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377323150634766 × 217)
    floor (0.377323150634766 × 131072)
    floor (49456.5)     		tx = 49456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612667083740234 × 217)
    floor (0.612667083740234 × 131072)
    floor (80303.5)     		ty = 80303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49456 / 80303 ti = "17/49456/80303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49456/80303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49456 ÷ 217
    49456 ÷ 131072     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80303 ÷ 217
    80303 ÷ 131072     		y = 0.612663269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612663269042969 × 2 - 1) × π
    -0.225326538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.707884196689369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707884196689369))-π/2
    2×atan(0.492685521111151)-π/2
    2×0.457778922515583-π/2
    0.915557845031167-1.57079632675     		φ = -0.65523848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65523848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.542399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49456 KachelY 80303 -0.77082535 -0.65523848 -44.165039 -37.542399
    Oben rechts KachelX + 1 49457 KachelY 80303 -0.77077741 -0.65523848 -44.162293 -37.542399
    Unten links KachelX 49456 KachelY + 1 80304 -0.77082535 -0.65527649 -44.165039 -37.544577
    Unten rechts KachelX + 1 49457 KachelY + 1 80304 -0.77077741 -0.65527649 -44.162293 -37.544577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65523848--0.65527649) × R
    3.80100000000327e-05 × 6371000     		dl = 242.161710000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65523848--0.65527649) × R
    3.80100000000327e-05 × 6371000     		dr = 242.161710000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77077741) × cos(-0.65523848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792902633255295 × 6371000     		do = 242.172873509788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77077741) × cos(-0.65527649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792879471351661 × 6371000     		du = 242.165799268231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65523848)-sin(-0.65527649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792902633255295-0.792879471351661)×R²
    abs(-0.77077741--0.77082535)×2.31619036339392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31619036339392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31619036339392e-05×40589641000000     		ar = 58644.1406166345m²