Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49454 / 80678
↖ ↑ ↗
← S 38.354580°
W 44.170532°		 ← 239.51 m → S 38.354580°
W 44.167785°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
S 38.356734°
W 44.170532°		 ← 239.50 m →
57 359 m²		 S 38.356734°
W 44.167785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377307891845703 y=0.615528106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377307891845703 × 217)
    floor (0.377307891845703 × 131072)
    floor (49454.5)     		tx = 49454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615528106689453 × 217)
    floor (0.615528106689453 × 131072)
    floor (80678.5)     		ty = 80678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49454 / 80678 ti = "17/49454/80678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49454/80678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49454 ÷ 217
    49454 ÷ 131072     		x = 0.377304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80678 ÷ 217
    80678 ÷ 131072     		y = 0.615524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.245391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77092122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615524291992188 × 2 - 1) × π
    -0.231048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.72586053404689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77092122} λ = -0.77092122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72586053404689))-π/2
    2×atan(0.483907970448339)-π/2
    2×0.450691308445691-π/2
    0.901382616891383-1.57079632675     		φ = -0.66941371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77092122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.170532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66941371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.354580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49454 KachelY 80678 -0.77092122 -0.66941371 -44.170532 -38.354580
    Oben rechts KachelX + 1 49455 KachelY 80678 -0.77087328 -0.66941371 -44.167785 -38.354580
    Unten links KachelX 49454 KachelY + 1 80679 -0.77092122 -0.66945130 -44.170532 -38.356734
    Unten rechts KachelX + 1 49455 KachelY + 1 80679 -0.77087328 -0.66945130 -44.167785 -38.356734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66941371--0.66945130) × R
    3.75899999999207e-05 × 6371000     		dl = 239.485889999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66941371--0.66945130) × R
    3.75899999999207e-05 × 6371000     		dr = 239.485889999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77092122--0.77087328) × cos(-0.66941371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784185609020487 × 6371000     		do = 239.510469932276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77092122--0.77087328) × cos(-0.66945130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784162282881585 × 6371000     		du = 239.50334552904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66941371)-sin(-0.66945130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784185609020487-0.784162282881585)×R²
    abs(-0.77087328--0.77092122)×2.33261389021022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33261389021022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33261389021022e-05×40589641000000     		ar = 57358.5249657766m²