Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49454 / 80674
↖ ↑ ↗
← S 38.345965°
W 44.170532°		 ← 239.54 m → S 38.345965°
W 44.167785°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
S 38.348119°
W 44.170532°		 ← 239.53 m →
57 365 m²		 S 38.348119°
W 44.167785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377307891845703 y=0.615497589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377307891845703 × 217)
    floor (0.377307891845703 × 131072)
    floor (49454.5)     		tx = 49454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615497589111328 × 217)
    floor (0.615497589111328 × 131072)
    floor (80674.5)     		ty = 80674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49454 / 80674 ti = "17/49454/80674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49454/80674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49454 ÷ 217
    49454 ÷ 131072     		x = 0.377304077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80674 ÷ 217
    80674 ÷ 131072     		y = 0.615493774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.245391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77092122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615493774414062 × 2 - 1) × π
    -0.230987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.72566878644841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77092122} λ = -0.77092122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72566878644841))-π/2
    2×atan(0.484000767536083)-π/2
    2×0.450766495772032-π/2
    0.901532991544064-1.57079632675     		φ = -0.66926334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77092122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.170532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66926334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.345965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49454 KachelY 80674 -0.77092122 -0.66926334 -44.170532 -38.345965
    Oben rechts KachelX + 1 49455 KachelY 80674 -0.77087328 -0.66926334 -44.167785 -38.345965
    Unten links KachelX 49454 KachelY + 1 80675 -0.77092122 -0.66930093 -44.170532 -38.348119
    Unten rechts KachelX + 1 49455 KachelY + 1 80675 -0.77087328 -0.66930093 -44.167785 -38.348119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66926334--0.66930093) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dl = 239.485890000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66926334--0.66930093) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dr = 239.485890000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77092122--0.77087328) × cos(-0.66926334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784278908699244 × 6371000     		do = 239.538966055702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77092122--0.77087328) × cos(-0.66930093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784255586993077 × 6371000     		du = 239.531843006338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66926334)-sin(-0.66930093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784278908699244-0.784255586993077)×R²
    abs(-0.77087328--0.77092122)×2.33217061671454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33217061671454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33217061671454e-05×40589641000000     		ar = 57365.349547482m²