Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49453 / 80667
↖ ↑ ↗
← S 38.330885°
W 44.173279°		 ← 239.59 m → S 38.330885°
W 44.170532°		 →
↑
239.55 m
↓
↑
239.55 m
↓
S 38.333039°
W 44.173279°		 ← 239.58 m →
57 393 m²		 S 38.333039°
W 44.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377300262451172 y=0.615444183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377300262451172 × 217)
    floor (0.377300262451172 × 131072)
    floor (49453.5)     		tx = 49453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615444183349609 × 217)
    floor (0.615444183349609 × 131072)
    floor (80667.5)     		ty = 80667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49453 / 80667 ti = "17/49453/80667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49453/80667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49453 ÷ 217
    49453 ÷ 131072     		x = 0.377296447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80667 ÷ 217
    80667 ÷ 131072     		y = 0.615440368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377296447753906 × 2 - 1) × π
    -0.245407104492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77096916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615440368652344 × 2 - 1) × π
    -0.230880737304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.72533322815107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77096916} λ = -0.77096916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72533322815107))-π/2
    2×atan(0.484163205261688)-π/2
    2×0.450898095116539-π/2
    0.901796190233078-1.57079632675     		φ = -0.66900014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77096916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.173279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66900014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.330885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49453 KachelY 80667 -0.77096916 -0.66900014 -44.173279 -38.330885
    Oben rechts KachelX + 1 49454 KachelY 80667 -0.77092122 -0.66900014 -44.170532 -38.330885
    Unten links KachelX 49453 KachelY + 1 80668 -0.77096916 -0.66903774 -44.173279 -38.333039
    Unten rechts KachelX + 1 49454 KachelY + 1 80668 -0.77092122 -0.66903774 -44.170532 -38.333039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66900014--0.66903774) × R
    3.7600000000082e-05 × 6371000     		dl = 239.549600000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66900014--0.66903774) × R
    3.7600000000082e-05 × 6371000     		dr = 239.549600000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77096916--0.77092122) × cos(-0.66900014) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.78444217302532 × 6371000     		do = 239.588831183864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77096916--0.77092122) × cos(-0.66903774) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.784418852876942 × 6371000     		du = 239.581708610289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66900014)-sin(-0.66903774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78444217302532-0.784418852876942)×R²
    abs(-0.77092122--0.77096916)×2.33201483785805e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33201483785805e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33201483785805e-05×40589641000000     		ar = 57392.5555766451m²