Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49451 / 80596
↖ ↑ ↗
← S 38.177751°
W 44.178772°		 ← 240.09 m → S 38.177751°
W 44.176025°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 38.179910°
W 44.178772°		 ← 240.09 m →
57 636 m²		 S 38.179910°
W 44.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377285003662109 y=0.614902496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377285003662109 × 217)
    floor (0.377285003662109 × 131072)
    floor (49451.5)     		tx = 49451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614902496337891 × 217)
    floor (0.614902496337891 × 131072)
    floor (80596.5)     		ty = 80596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49451 / 80596 ti = "17/49451/80596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49451/80596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49451 ÷ 217
    49451 ÷ 131072     		x = 0.377281188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80596 ÷ 217
    80596 ÷ 131072     		y = 0.614898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377281188964844 × 2 - 1) × π
    -0.245437622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77106503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.22979736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.721929708278046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77106503} λ = -0.77106503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721929708278046))-π/2
    2×atan(0.485813871797326)-π/2
    2×0.452234435718526-π/2
    0.904468871437052-1.57079632675     		φ = -0.66632746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77106503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.178772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66632746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.177751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49451 KachelY 80596 -0.77106503 -0.66632746 -44.178772 -38.177751
    Oben rechts KachelX + 1 49452 KachelY 80596 -0.77101709 -0.66632746 -44.176025 -38.177751
    Unten links KachelX 49451 KachelY + 1 80597 -0.77106503 -0.66636514 -44.178772 -38.179910
    Unten rechts KachelX + 1 49452 KachelY + 1 80597 -0.77101709 -0.66636514 -44.176025 -38.179910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66632746--0.66636514) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66632746--0.66636514) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77106503--0.77101709) × cos(-0.66632746) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.786096970720042 × 6371000     		do = 240.094248994326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77106503--0.77101709) × cos(-0.66636514) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.786073680033831 × 6371000     		du = 240.087135419255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66632746)-sin(-0.66636514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786096970720042-0.786073680033831)×R²
    abs(-0.77101709--0.77106503)×2.3290686210653e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3290686210653e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3290686210653e-05×40589641000000     		ar = 57635.998712795m²