Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49450 / 80673
↖ ↑ ↗
← S 38.343810°
W 44.181519°		 ← 239.55 m → S 38.343810°
W 44.178772°		 →
↑
239.55 m
↓
↑
239.55 m
↓
S 38.345965°
W 44.181519°		 ← 239.54 m →
57 382 m²		 S 38.345965°
W 44.178772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377277374267578 y=0.615489959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377277374267578 × 217)
    floor (0.377277374267578 × 131072)
    floor (49450.5)     		tx = 49450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615489959716797 × 217)
    floor (0.615489959716797 × 131072)
    floor (80673.5)     		ty = 80673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49450 / 80673 ti = "17/49450/80673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49450/80673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49450 ÷ 217
    49450 ÷ 131072     		x = 0.377273559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80673 ÷ 217
    80673 ÷ 131072     		y = 0.615486145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377273559570312 × 2 - 1) × π
    -0.245452880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77111297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615486145019531 × 2 - 1) × π
    -0.230972290039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.72562084954879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77111297} λ = -0.77111297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72562084954879))-π/2
    2×atan(0.484023969588405)-π/2
    2×0.450785294001291-π/2
    0.901570588002582-1.57079632675     		φ = -0.66922574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77111297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.181519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66922574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.343810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49450 KachelY 80673 -0.77111297 -0.66922574 -44.181519 -38.343810
    Oben rechts KachelX + 1 49451 KachelY 80673 -0.77106503 -0.66922574 -44.178772 -38.343810
    Unten links KachelX 49450 KachelY + 1 80674 -0.77111297 -0.66926334 -44.181519 -38.345965
    Unten rechts KachelX + 1 49451 KachelY + 1 80674 -0.77106503 -0.66926334 -44.178772 -38.345965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66922574--0.66926334) × R
    3.7599999999971e-05 × 6371000     		dl = 239.549599999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66922574--0.66926334) × R
    3.7599999999971e-05 × 6371000     		dr = 239.549599999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77111297--0.77106503) × cos(-0.66922574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784302235501008 × 6371000     		do = 239.546090661393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77111297--0.77106503) × cos(-0.66926334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784278908699244 × 6371000     		du = 239.538966055702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66922574)-sin(-0.66926334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784302235501008-0.784278908699244)×R²
    abs(-0.77106503--0.77111297)×2.33268017639787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33268017639787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33268017639787e-05×40589641000000     		ar = 57382.3168579377m²