Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4945 / 5223
↖ ↑ ↗
← S 44.308127°
E 37.309570°		 ← 3 496.74 m → S 44.308127°
E 37.353515°		 →
↑
3 495.77 m
↓
↑
3 495.77 m
↓
S 44.339565°
E 37.309570°		 ← 3 494.87 m →
12 220 529 m²		 S 44.339565°
E 37.353515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60369873046875 y=0.63763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60369873046875 × 213)
    floor (0.60369873046875 × 8192)
    floor (4945.5)     		tx = 4945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63763427734375 × 213)
    floor (0.63763427734375 × 8192)
    floor (5223.5)     		ty = 5223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4945 / 5223 ti = "13/4945/5223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4945/5223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4945 ÷ 213
    4945 ÷ 8192     		x = 0.6036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5223 ÷ 213
    5223 ÷ 8192     		y = 0.6375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6036376953125 × 2 - 1) × π
    0.207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65117484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864398173948853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65117484} λ = 0.65117484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864398173948853))-π/2
    2×atan(0.421305028687166)-π/2
    2×0.398736815385277-π/2
    0.797473630770553-1.57079632675     		φ = -0.77332270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65117484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.309570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77332270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.308127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4945 KachelY 5223 0.65117484 -0.77332270 37.309570 -44.308127
    Oben rechts KachelX + 1 4946 KachelY 5223 0.65194183 -0.77332270 37.353515 -44.308127
    Unten links KachelX 4945 KachelY + 1 5224 0.65117484 -0.77387140 37.309570 -44.339565
    Unten rechts KachelX + 1 4946 KachelY + 1 5224 0.65194183 -0.77387140 37.353515 -44.339565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77332270--0.77387140) × R
    0.000548699999999958 × 6371000     		dl = 3495.76769999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77332270--0.77387140) × R
    0.000548699999999958 × 6371000     		dr = 3495.76769999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65117484-0.65194183) × cos(-0.77332270) × R
    0.000766990000000023 × 0.715593662326088 × 6371000     		do = 3496.74362932306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65117484-0.65194183) × cos(-0.77387140) × R
    0.000766990000000023 × 0.715210278458376 × 6371000     		du = 3494.87022662599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77332270)-sin(-0.77387140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715593662326088-0.715210278458376)×R²
    abs(0.65194183-0.65117484)×0.000383383867712528×R²
    0.000766990000000023×0.000383383867712528×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383383867712528×40589641000000     		ar = 12220529.2508519m²