Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49447 / 80662
↖ ↑ ↗
← S 38.320111°
W 44.189758°		 ← 239.62 m → S 38.320111°
W 44.187012°		 →
↑
239.61 m
↓
↑
239.61 m
↓
S 38.322266°
W 44.189758°		 ← 239.62 m →
57 416 m²		 S 38.322266°
W 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377254486083984 y=0.615406036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377254486083984 × 217)
    floor (0.377254486083984 × 131072)
    floor (49447.5)     		tx = 49447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615406036376953 × 217)
    floor (0.615406036376953 × 131072)
    floor (80662.5)     		ty = 80662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49447 / 80662 ti = "17/49447/80662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49447/80662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49447 ÷ 217
    49447 ÷ 131072     		x = 0.377250671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80662 ÷ 217
    80662 ÷ 131072     		y = 0.615402221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.245498657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.77125678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615402221679688 × 2 - 1) × π
    -0.230804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.725093543652969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77125678} λ = -0.77125678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.725093543652969))-π/2
    2×atan(0.484279265584914)-π/2
    2×0.450992111418226-π/2
    0.901984222836452-1.57079632675     		φ = -0.66881210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77125678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.189758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66881210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.320111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49447 KachelY 80662 -0.77125678 -0.66881210 -44.189758 -38.320111
    Oben rechts KachelX + 1 49448 KachelY 80662 -0.77120884 -0.66881210 -44.187012 -38.320111
    Unten links KachelX 49447 KachelY + 1 80663 -0.77125678 -0.66884971 -44.189758 -38.322266
    Unten rechts KachelX + 1 49448 KachelY + 1 80663 -0.77120884 -0.66884971 -44.187012 -38.322266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66881210--0.66884971) × R
    3.76100000000212e-05 × 6371000     		dl = 239.613310000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66881210--0.66884971) × R
    3.76100000000212e-05 × 6371000     		dr = 239.613310000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77125678--0.77120884) × cos(-0.66881210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784558781933538 × 6371000     		do = 239.624446545392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77125678--0.77120884) × cos(-0.66884971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784535461130895 × 6371000     		du = 239.617323771988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66881210)-sin(-0.66884971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784558781933538-0.784535461130895)×R²
    abs(-0.77120884--0.77125678)×2.33208026436671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33208026436671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33208026436671e-05×40589641000000     		ar = 57416.3534448405m²