Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49446 / 80740
↖ ↑ ↗
← S 38.487995°
W 44.192505°		 ← 239.02 m → S 38.487995°
W 44.189758°		 →
↑
239.04 m
↓
↑
239.04 m
↓
S 38.490144°
W 44.192505°		 ← 239.01 m →
57 134 m²		 S 38.490144°
W 44.189758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377246856689453 y=0.616001129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377246856689453 × 217)
    floor (0.377246856689453 × 131072)
    floor (49446.5)     		tx = 49446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616001129150391 × 217)
    floor (0.616001129150391 × 131072)
    floor (80740.5)     		ty = 80740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49446 / 80740 ti = "17/49446/80740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49446/80740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49446 ÷ 217
    49446 ÷ 131072     		x = 0.377243041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80740 ÷ 217
    80740 ÷ 131072     		y = 0.615997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377243041992188 × 2 - 1) × π
    -0.245513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77130471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.23199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.728832621823334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77130471} λ = -0.77130471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728832621823334))-π/2
    2×atan(0.482471888622179)-π/2
    2×0.449527049195288-π/2
    0.899054098390576-1.57079632675     		φ = -0.67174223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77130471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.192505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67174223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.487995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49446 KachelY 80740 -0.77130471 -0.67174223 -44.192505 -38.487995
    Oben rechts KachelX + 1 49447 KachelY 80740 -0.77125678 -0.67174223 -44.189758 -38.487995
    Unten links KachelX 49446 KachelY + 1 80741 -0.77130471 -0.67177975 -44.192505 -38.490144
    Unten rechts KachelX + 1 49447 KachelY + 1 80741 -0.77125678 -0.67177975 -44.189758 -38.490144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67174223--0.67177975) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dl = 239.039920000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67174223--0.67177975) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dr = 239.039920000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77130471--0.77125678) × cos(-0.67174223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.782738576419711 × 6371000     		do = 239.018640654979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77130471--0.77125678) × cos(-0.67177975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.782715225272697 × 6371000     		du = 239.011510101324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67174223)-sin(-0.67177975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782738576419711-0.782715225272697)×R²
    abs(-0.77125678--0.77130471)×2.33511470141279e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33511470141279e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33511470141279e-05×40589641000000     		ar = 57134.1445038946m²