Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4944 / 5203
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
E 37.265625°		 ← 3 534.20 m → S 43.675818°
E 37.309570°		 →
↑
3 533.23 m
↓
↑
3 533.23 m
↓
S 43.707593°
E 37.265625°		 ← 3 532.33 m →
12 483 827 m²		 S 43.707593°
E 37.309570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60357666015625 y=0.63519287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60357666015625 × 213)
    floor (0.60357666015625 × 8192)
    floor (4944.5)     		tx = 4944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63519287109375 × 213)
    floor (0.63519287109375 × 8192)
    floor (5203.5)     		ty = 5203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4944 / 5203 ti = "13/4944/5203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4944/5203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4944 ÷ 213
    4944 ÷ 8192     		x = 0.603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5203 ÷ 213
    5203 ÷ 8192     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603515625 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65040785} λ = 0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4944 KachelY 5203 0.65040785 -0.76228683 37.265625 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 4945 KachelY 5203 0.65117484 -0.76228683 37.309570 -43.675818
    Unten links KachelX 4944 KachelY + 1 5204 0.65040785 -0.76284141 37.265625 -43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 4945 KachelY + 1 5204 0.65117484 -0.76284141 37.309570 -43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76284141) × R
    0.000554580000000082 × 6371000     		dl = 3533.22918000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76284141) × R
    0.000554580000000082 × 6371000     		dr = 3533.22918000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65040785-0.65117484) × cos(-0.76228683) × R
    0.000766990000000023 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 3534.19864076495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65040785-0.65117484) × cos(-0.76284141) × R
    0.000766990000000023 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 3532.32666663849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.72287557907163)×R²
    abs(0.65117484-0.65040785)×0.000383091516833689×R²
    0.000766990000000023×0.000383091516833689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383091516833689×40589641000000     		ar = 12483827.028625m²