Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49439 / 80403
↖ ↑ ↗
← S 37.759859°
W 44.211731°		 ← 241.41 m → S 37.759859°
W 44.208985°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
S 37.762030°
W 44.211731°		 ← 241.41 m →
58 276 m²		 S 37.762030°
W 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377193450927734 y=0.613430023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377193450927734 × 217)
    floor (0.377193450927734 × 131072)
    floor (49439.5)     		tx = 49439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613430023193359 × 217)
    floor (0.613430023193359 × 131072)
    floor (80403.5)     		ty = 80403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49439 / 80403 ti = "17/49439/80403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49439/80403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49439 ÷ 217
    49439 ÷ 131072     		x = 0.377189636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80403 ÷ 217
    80403 ÷ 131072     		y = 0.613426208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377189636230469 × 2 - 1) × π
    -0.245620727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.77164027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613426208496094 × 2 - 1) × π
    -0.226852416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.712677886651375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77164027} λ = -0.77164027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712677886651375))-π/2
    2×atan(0.490329391264055)-π/2
    2×0.455881235334359-π/2
    0.911762470668718-1.57079632675     		φ = -0.65903386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77164027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.211731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65903386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.759859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49439 KachelY 80403 -0.77164027 -0.65903386 -44.211731 -37.759859
    Oben rechts KachelX + 1 49440 KachelY 80403 -0.77159234 -0.65903386 -44.208985 -37.759859
    Unten links KachelX 49439 KachelY + 1 80404 -0.77164027 -0.65907175 -44.211731 -37.762030
    Unten rechts KachelX + 1 49440 KachelY + 1 80404 -0.77159234 -0.65907175 -44.208985 -37.762030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65903386--0.65907175) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65903386--0.65907175) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77164027--0.77159234) × cos(-0.65903386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.790584219420764 × 6371000     		do = 241.414402128438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77164027--0.77159234) × cos(-0.65907175) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.790561016785865 × 6371000     		du = 241.407316924744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65903386)-sin(-0.65907175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790584219420764-0.790561016785865)×R²
    abs(-0.77159234--0.77164027)×2.32026348990777e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32026348990777e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32026348990777e-05×40589641000000     		ar = 58275.9031320875m²