Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49420 / 80421
↖ ↑ ↗
← S 37.798933°
W 44.263916°		 ← 241.29 m → S 37.798933°
W 44.261170°		 →
↑
241.33 m
↓
↑
241.33 m
↓
S 37.801104°
W 44.263916°		 ← 241.28 m →
58 230 m²		 S 37.801104°
W 44.261170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377048492431641 y=0.613567352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377048492431641 × 217)
    floor (0.377048492431641 × 131072)
    floor (49420.5)     		tx = 49420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613567352294922 × 217)
    floor (0.613567352294922 × 131072)
    floor (80421.5)     		ty = 80421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49420 / 80421 ti = "17/49420/80421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49420/80421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49420 ÷ 217
    49420 ÷ 131072     		x = 0.377044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80421 ÷ 217
    80421 ÷ 131072     		y = 0.613563537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613563537597656 × 2 - 1) × π
    -0.227127075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.713540750844536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77255107} λ = -0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.713540750844536))-π/2
    2×atan(0.489906486070592)-π/2
    2×0.455540242047038-π/2
    0.911080484094076-1.57079632675     		φ = -0.65971584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65971584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.798933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49420 KachelY 80421 -0.77255107 -0.65971584 -44.263916 -37.798933
    Oben rechts KachelX + 1 49421 KachelY 80421 -0.77250314 -0.65971584 -44.261170 -37.798933
    Unten links KachelX 49420 KachelY + 1 80422 -0.77255107 -0.65975372 -44.263916 -37.801104
    Unten rechts KachelX + 1 49421 KachelY + 1 80422 -0.77250314 -0.65975372 -44.261170 -37.801104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65971584--0.65975372) × R
    3.78799999999346e-05 × 6371000     		dl = 241.333479999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65971584--0.65975372) × R
    3.78799999999346e-05 × 6371000     		dr = 241.333479999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77255107--0.77250314) × cos(-0.65971584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.790166422884963 × 6371000     		do = 241.286822930139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77255107--0.77250314) × cos(-0.65975372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.790143205956112 × 6371000     		du = 241.279733361614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65971584)-sin(-0.65975372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790166422884963-0.790143205956112)×R²
    abs(-0.77250314--0.77255107)×2.32169288510997e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32169288510997e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32169288510997e-05×40589641000000     		ar = 58229.7331875948m²