Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49414 / 58951
↖ ↑ ↗
← N 17.793150°
W 44.280396°		 ← 290.82 m → N 17.793150°
W 44.277649°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.790535°
W 44.280396°		 ← 290.82 m →
84 562 m²		 N 17.790535°
W 44.277649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377002716064453 y=0.449764251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377002716064453 × 217)
    floor (0.377002716064453 × 131072)
    floor (49414.5)     		tx = 49414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449764251708984 × 217)
    floor (0.449764251708984 × 131072)
    floor (58951.5)     		ty = 58951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49414 / 58951 ti = "17/49414/58951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49414/58951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49414 ÷ 217
    49414 ÷ 131072     		x = 0.376998901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58951 ÷ 217
    58951 ÷ 131072     		y = 0.449760437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.246002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77283870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449760437011719 × 2 - 1) × π
    0.100479125976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.31566448399807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77283870} λ = -0.77283870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31566448399807))-π/2
    2×atan(1.3711701289208)-π/2
    2×0.940672694656964-π/2
    1.88134538931393-1.57079632675     		φ = 0.31054906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77283870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.280396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31054906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.793150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49414 KachelY 58951 -0.77283870 0.31054906 -44.280396 17.793150
    Oben rechts KachelX + 1 49415 KachelY 58951 -0.77279076 0.31054906 -44.277649 17.793150
    Unten links KachelX 49414 KachelY + 1 58952 -0.77283870 0.31050342 -44.280396 17.790535
    Unten rechts KachelX + 1 49415 KachelY + 1 58952 -0.77279076 0.31050342 -44.277649 17.790535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31054906-0.31050342) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31054906-0.31050342) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77283870--0.77279076) × cos(0.31054906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95216593085069 × 6371000     		do = 290.81598403267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77283870--0.77279076) × cos(0.31050342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952179876597688 × 6371000     		du = 290.820243422767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31054906)-sin(0.31050342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95216593085069-0.952179876597688)×R²
    abs(-0.77279076--0.77283870)×1.39457469978677e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39457469978677e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39457469978677e-05×40589641000000     		ar = 84561.8925395081m²