Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49404 / 80708
↖ ↑ ↗
← S 38.419166°
W 44.307861°		 ← 239.25 m → S 38.419166°
W 44.305115°		 →
↑
239.29 m
↓
↑
239.29 m
↓
S 38.421318°
W 44.307861°		 ← 239.24 m →
57 250 m²		 S 38.421318°
W 44.305115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376926422119141 y=0.615756988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376926422119141 × 217)
    floor (0.376926422119141 × 131072)
    floor (49404.5)     		tx = 49404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615756988525391 × 217)
    floor (0.615756988525391 × 131072)
    floor (80708.5)     		ty = 80708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49404 / 80708 ti = "17/49404/80708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49404/80708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49404 ÷ 217
    49404 ÷ 131072     		x = 0.376922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80708 ÷ 217
    80708 ÷ 131072     		y = 0.615753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376922607421875 × 2 - 1) × π
    -0.24615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77331806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.727298641035492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77331806} λ = -0.77331806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.727298641035492))-π/2
    2×atan(0.483212559171957)-π/2
    2×0.450127688682567-π/2
    0.900255377365134-1.57079632675     		φ = -0.67054095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77331806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.307861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67054095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.419166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49404 KachelY 80708 -0.77331806 -0.67054095 -44.307861 -38.419166
    Oben rechts KachelX + 1 49405 KachelY 80708 -0.77327013 -0.67054095 -44.305115 -38.419166
    Unten links KachelX 49404 KachelY + 1 80709 -0.77331806 -0.67057851 -44.307861 -38.421318
    Unten rechts KachelX + 1 49405 KachelY + 1 80709 -0.77327013 -0.67057851 -44.305115 -38.421318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67054095--0.67057851) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dl = 239.294759999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67054095--0.67057851) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dr = 239.294759999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77331806--0.77327013) × cos(-0.67054095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783485628843895 × 6371000     		do = 239.246762099745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77331806--0.77327013) × cos(-0.67057851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783462288135235 × 6371000     		du = 239.239634733567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67054095)-sin(-0.67057851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783485628843895-0.783462288135235)×R²
    abs(-0.77327013--0.77331806)×2.33407086596138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33407086596138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33407086596138e-05×40589641000000     		ar = 57249.6437535696m²