Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4940 / 3781
↖ ↑ ↗
← N 13.710035°
E 37.089844°		 ← 4 747.27 m → N 13.710035°
E 37.133789°		 →
↑
4 747.73 m
↓
↑
4 747.73 m
↓
N 13.667338°
E 37.089844°		 ← 4 748.13 m →
22 540 795 m²		 N 13.667338°
E 37.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60308837890625 y=0.46160888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60308837890625 × 213)
    floor (0.60308837890625 × 8192)
    floor (4940.5)     		tx = 4940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46160888671875 × 213)
    floor (0.46160888671875 × 8192)
    floor (3781.5)     		ty = 3781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4940 / 3781 ti = "13/4940/3781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4940/3781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4940 ÷ 213
    4940 ÷ 8192     		x = 0.60302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3781 ÷ 213
    3781 ÷ 8192     		y = 0.4615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60302734375 × 2 - 1) × π
    0.2060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64733989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    0.076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64733989} λ = 0.64733989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241601974085083))-π/2
    2×atan(1.27328729060398)-π/2
    2×0.905040792039597-π/2
    1.81008158407919-1.57079632675     		φ = 0.23928526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64733989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23928526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.710035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4940 KachelY 3781 0.64733989 0.23928526 37.089844 13.710035
    Oben rechts KachelX + 1 4941 KachelY 3781 0.64810688 0.23928526 37.133789 13.710035
    Unten links KachelX 4940 KachelY + 1 3782 0.64733989 0.23854005 37.089844 13.667338
    Unten rechts KachelX + 1 4941 KachelY + 1 3782 0.64810688 0.23854005 37.133789 13.667338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23928526-0.23854005) × R
    0.000745209999999996 × 6371000     		dl = 4747.73290999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23928526-0.23854005) × R
    0.000745209999999996 × 6371000     		dr = 4747.73290999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64733989-0.64810688) × cos(0.23928526) × R
    0.000766990000000023 × 0.971507622307198 × 6371000     		do = 4747.26547758812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64733989-0.64810688) × cos(0.23854005) × R
    0.000766990000000023 × 0.971683973497278 × 6371000     		du = 4748.12721649513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23928526)-sin(0.23854005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971507622307198-0.971683973497278)×R²
    abs(0.64810688-0.64733989)×0.000176351190079305×R²
    0.000766990000000023×0.000176351190079305×6371000²
    0.000766990000000023×0.000176351190079305×40589641000000     		ar = 22540795.236683m²