Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49396 / 80700
↖ ↑ ↗
← S 38.401949°
W 44.329834°		 ← 239.35 m → S 38.401949°
W 44.327087°		 →
↑
239.36 m
↓
↑
239.36 m
↓
S 38.404102°
W 44.329834°		 ← 239.35 m →
57 290 m²		 S 38.404102°
W 44.327087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376865386962891 y=0.615695953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376865386962891 × 217)
    floor (0.376865386962891 × 131072)
    floor (49396.5)     		tx = 49396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615695953369141 × 217)
    floor (0.615695953369141 × 131072)
    floor (80700.5)     		ty = 80700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49396 / 80700 ti = "17/49396/80700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49396/80700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49396 ÷ 217
    49396 ÷ 131072     		x = 0.376861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80700 ÷ 217
    80700 ÷ 131072     		y = 0.615692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.24627685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77370156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.23138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.726915145838531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77370156} λ = -0.77370156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726915145838531))-π/2
    2×atan(0.483397904404742)-π/2
    2×0.450277938070232-π/2
    0.900555876140464-1.57079632675     		φ = -0.67024045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77370156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.329834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67024045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.401949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49396 KachelY 80700 -0.77370156 -0.67024045 -44.329834 -38.401949
    Oben rechts KachelX + 1 49397 KachelY 80700 -0.77365362 -0.67024045 -44.327087 -38.401949
    Unten links KachelX 49396 KachelY + 1 80701 -0.77370156 -0.67027802 -44.329834 -38.404102
    Unten rechts KachelX + 1 49397 KachelY + 1 80701 -0.77365362 -0.67027802 -44.327087 -38.404102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67024045--0.67027802) × R
    3.75700000000423e-05 × 6371000     		dl = 239.358470000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67024045--0.67027802) × R
    3.75700000000423e-05 × 6371000     		dr = 239.358470000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77370156--0.77365362) × cos(-0.67024045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.783672327142909 × 6371000     		do = 239.353700434988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77370156--0.77365362) × cos(-0.67027802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.783648989066163 × 6371000     		du = 239.346572385628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67024045)-sin(-0.67027802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783672327142909-0.783648989066163)×R²
    abs(-0.77365362--0.77370156)×2.33380767465929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33380767465929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33380767465929e-05×40589641000000     		ar = 57290.4824522605m²