Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49395 / 80680
↖ ↑ ↗
← S 38.358888°
W 44.332581°		 ← 239.50 m → S 38.358888°
W 44.329834°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
S 38.361042°
W 44.332581°		 ← 239.49 m →
57 355 m²		 S 38.361042°
W 44.329834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376857757568359 y=0.615543365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376857757568359 × 217)
    floor (0.376857757568359 × 131072)
    floor (49395.5)     		tx = 49395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615543365478516 × 217)
    floor (0.615543365478516 × 131072)
    floor (80680.5)     		ty = 80680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49395 / 80680 ti = "17/49395/80680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49395/80680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49395 ÷ 217
    49395 ÷ 131072     		x = 0.376853942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80680 ÷ 217
    80680 ÷ 131072     		y = 0.61553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376853942871094 × 2 - 1) × π
    -0.246292114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.77374950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.2310791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.72595640784613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77374950} λ = -0.77374950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72595640784613))-π/2
    2×atan(0.483861578576647)-π/2
    2×0.450653718137077-π/2
    0.901307436274155-1.57079632675     		φ = -0.66948889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77374950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.332581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66948889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.358888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49395 KachelY 80680 -0.77374950 -0.66948889 -44.332581 -38.358888
    Oben rechts KachelX + 1 49396 KachelY 80680 -0.77370156 -0.66948889 -44.329834 -38.358888
    Unten links KachelX 49395 KachelY + 1 80681 -0.77374950 -0.66952648 -44.332581 -38.361042
    Unten rechts KachelX + 1 49396 KachelY + 1 80681 -0.77370156 -0.66952648 -44.329834 -38.361042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66948889--0.66952648) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dl = 239.485890000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66948889--0.66952648) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dr = 239.485890000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77374950--0.77370156) × cos(-0.66948889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784138955634655 × 6371000     		do = 239.496220787385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77374950--0.77370156) × cos(-0.66952648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78411562727973 × 6371000     		du = 239.489095707319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66948889)-sin(-0.66952648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784138955634655-0.78411562727973)×R²
    abs(-0.77370156--0.77374950)×2.33283549245789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33283549245789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33283549245789e-05×40589641000000     		ar = 57355.1124156823m²