Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4939 / 5196
↖ ↑ ↗
← S 43.452919°
E 37.045898°		 ← 3 547.30 m → S 43.452919°
E 37.089844°		 →
↑
3 546.42 m
↓
↑
3 546.42 m
↓
S 43.484812°
E 37.045898°		 ← 3 545.43 m →
12 576 887 m²		 S 43.484812°
E 37.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60296630859375 y=0.63433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60296630859375 × 213)
    floor (0.60296630859375 × 8192)
    floor (4939.5)     		tx = 4939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63433837890625 × 213)
    floor (0.63433837890625 × 8192)
    floor (5196.5)     		ty = 5196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4939 / 5196 ti = "13/4939/5196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4939/5196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4939 ÷ 213
    4939 ÷ 8192     		x = 0.6029052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5196 ÷ 213
    5196 ÷ 8192     		y = 0.63427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6029052734375 × 2 - 1) × π
    0.205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64657290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64657290} λ = 0.64657290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843689433312988))-π/2
    2×atan(0.430120690836426)-π/2
    2×0.406199911258911-π/2
    0.812399822517822-1.57079632675     		φ = -0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64657290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.045898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4939 KachelY 5196 0.64657290 -0.75839650 37.045898 -43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 4940 KachelY 5196 0.64733989 -0.75839650 37.089844 -43.452919
    Unten links KachelX 4939 KachelY + 1 5197 0.64657290 -0.75895315 37.045898 -43.484812
    Unten rechts KachelX + 1 4940 KachelY + 1 5197 0.64733989 -0.75895315 37.089844 -43.484812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75839650--0.75895315) × R
    0.000556649999999936 × 6371000     		dl = 3546.41714999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75839650--0.75895315) × R
    0.000556649999999936 × 6371000     		dr = 3546.41714999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64657290-0.64733989) × cos(-0.75839650) × R
    0.000766990000000023 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 3547.29978549245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64657290-0.64733989) × cos(-0.75895315) × R
    0.000766990000000023 × 0.725556810851977 × 6371000     		du = 3545.42848774209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75839650)-sin(-0.75895315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.725556810851977)×R²
    abs(0.64733989-0.64657290)×0.000382953099350325×R²
    0.000766990000000023×0.000382953099350325×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382953099350325×40589641000000     		ar = 12576886.9189986m²