Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49389 / 80676
↖ ↑ ↗
← S 38.350272°
W 44.349060°		 ← 239.52 m → S 38.350272°
W 44.346313°		 →
↑
239.55 m
↓
↑
239.55 m
↓
S 38.352427°
W 44.349060°		 ← 239.52 m →
57 377 m²		 S 38.352427°
W 44.346313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376811981201172 y=0.615512847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376811981201172 × 217)
    floor (0.376811981201172 × 131072)
    floor (49389.5)     		tx = 49389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615512847900391 × 217)
    floor (0.615512847900391 × 131072)
    floor (80676.5)     		ty = 80676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49389 / 80676 ti = "17/49389/80676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49389/80676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49389 ÷ 217
    49389 ÷ 131072     		x = 0.376808166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80676 ÷ 217
    80676 ÷ 131072     		y = 0.615509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.246383666992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77403712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.23101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.72576466024765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77403712} λ = -0.77403712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72576466024765))-π/2
    2×atan(0.483954366768008)-π/2
    2×0.450728900990703-π/2
    0.901457801981406-1.57079632675     		φ = -0.66933852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77403712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.349060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66933852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.350272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49389 KachelY 80676 -0.77403712 -0.66933852 -44.349060 -38.350272
    Oben rechts KachelX + 1 49390 KachelY 80676 -0.77398918 -0.66933852 -44.346313 -38.350272
    Unten links KachelX 49389 KachelY + 1 80677 -0.77403712 -0.66937612 -44.349060 -38.352427
    Unten rechts KachelX + 1 49390 KachelY + 1 80677 -0.77398918 -0.66937612 -44.346313 -38.352427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66933852--0.66937612) × R
    3.7599999999971e-05 × 6371000     		dl = 239.549599999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66933852--0.66937612) × R
    3.7599999999971e-05 × 6371000     		dr = 239.549599999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77403712--0.77398918) × cos(-0.66933852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78423226417875 × 6371000     		do = 239.524719618513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77403712--0.77398918) × cos(-0.66937612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.784208934051329 × 6371000     		du = 239.517593997081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66933852)-sin(-0.66937612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78423226417875-0.784208934051329)×R²
    abs(-0.77398918--0.77403712)×2.33301274217279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33301274217279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33301274217279e-05×40589641000000     		ar = 57377.1973115644m²