Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49389 / 80267
↖ ↑ ↗
← S 37.463959°
W 44.349060°		 ← 242.43 m → S 37.463959°
W 44.346313°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
S 37.466139°
W 44.349060°		 ← 242.42 m →
58 768 m²		 S 37.466139°
W 44.346313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376811981201172 y=0.612392425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376811981201172 × 217)
    floor (0.376811981201172 × 131072)
    floor (49389.5)     		tx = 49389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612392425537109 × 217)
    floor (0.612392425537109 × 131072)
    floor (80267.5)     		ty = 80267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49389 / 80267 ti = "17/49389/80267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49389/80267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49389 ÷ 217
    49389 ÷ 131072     		x = 0.376808166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80267 ÷ 217
    80267 ÷ 131072     		y = 0.612388610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.246383666992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77403712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612388610839844 × 2 - 1) × π
    -0.224777221679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.706158468303047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77403712} λ = -0.77403712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.706158468303047))-π/2
    2×atan(0.493536496565518)-π/2
    2×0.458463449442714-π/2
    0.916926898885428-1.57079632675     		φ = -0.65386943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77403712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.349060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65386943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.463959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49389 KachelY 80267 -0.77403712 -0.65386943 -44.349060 -37.463959
    Oben rechts KachelX + 1 49390 KachelY 80267 -0.77398918 -0.65386943 -44.346313 -37.463959
    Unten links KachelX 49389 KachelY + 1 80268 -0.77403712 -0.65390748 -44.349060 -37.466139
    Unten rechts KachelX + 1 49390 KachelY + 1 80268 -0.77398918 -0.65390748 -44.346313 -37.466139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65386943--0.65390748) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dl = 242.416550000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65386943--0.65390748) × R
    3.80500000000117e-05 × 6371000     		dr = 242.416550000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77403712--0.77398918) × cos(-0.65386943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79373611828835 × 6371000     		do = 242.427441292788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77403712--0.77398918) × cos(-0.65390748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793712973334851 × 6371000     		du = 242.420372228238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65386943)-sin(-0.65390748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79373611828835-0.793712973334851)×R²
    abs(-0.77398918--0.77403712)×2.31449534984218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31449534984218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31449534984218e-05×40589641000000     		ar = 58767.5671215295m²