Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49387 / 80675
↖ ↑ ↗
← S 38.348119°
W 44.354553°		 ← 239.48 m → S 38.348119°
W 44.351807°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
S 38.350272°
W 44.354553°		 ← 239.47 m →
57 352 m²		 S 38.350272°
W 44.351807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376796722412109 y=0.615505218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376796722412109 × 217)
    floor (0.376796722412109 × 131072)
    floor (49387.5)     		tx = 49387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615505218505859 × 217)
    floor (0.615505218505859 × 131072)
    floor (80675.5)     		ty = 80675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49387 / 80675 ti = "17/49387/80675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49387/80675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49387 ÷ 217
    49387 ÷ 131072     		x = 0.376792907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80675 ÷ 217
    80675 ÷ 131072     		y = 0.615501403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376792907714844 × 2 - 1) × π
    -0.246414184570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77413299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615501403808594 × 2 - 1) × π
    -0.231002807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.72571672334803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77413299} λ = -0.77413299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.72571672334803))-π/2
    2×atan(0.483977566595968)-π/2
    2×0.450747698101833-π/2
    0.901495396203665-1.57079632675     		φ = -0.66930093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77413299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.354553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66930093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.348119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49387 KachelY 80675 -0.77413299 -0.66930093 -44.354553 -38.348119
    Oben rechts KachelX + 1 49388 KachelY 80675 -0.77408506 -0.66930093 -44.351807 -38.348119
    Unten links KachelX 49387 KachelY + 1 80676 -0.77413299 -0.66933852 -44.354553 -38.350272
    Unten rechts KachelX + 1 49388 KachelY + 1 80676 -0.77408506 -0.66933852 -44.351807 -38.350272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66930093--0.66933852) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dl = 239.485890000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66930093--0.66933852) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dr = 239.485890000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77413299--0.77408506) × cos(-0.66930093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.784255586993077 × 6371000     		do = 239.481878083194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77413299--0.77408506) × cos(-0.66933852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78423226417875 × 6371000     		du = 239.474756181266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66930093)-sin(-0.66933852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.784255586993077-0.78423226417875)×R²
    abs(-0.77408506--0.77413299)×2.33228143268205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33228143268205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33228143268205e-05×40589641000000     		ar = 57351.6779208298m²