Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49384 / 80727
↖ ↑ ↗
← S 38.460041°
W 44.362793°		 ← 239.11 m → S 38.460041°
W 44.360047°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 38.462192°
W 44.362793°		 ← 239.10 m →
57 172 m²		 S 38.462192°
W 44.360047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376773834228516 y=0.615901947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376773834228516 × 217)
    floor (0.376773834228516 × 131072)
    floor (49384.5)     		tx = 49384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615901947021484 × 217)
    floor (0.615901947021484 × 131072)
    floor (80727.5)     		ty = 80727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49384 / 80727 ti = "17/49384/80727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49384/80727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49384 ÷ 217
    49384 ÷ 131072     		x = 0.37677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80727 ÷ 217
    80727 ÷ 131072     		y = 0.615898132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615898132324219 × 2 - 1) × π
    -0.231796264648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.728209442128273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77427680} λ = -0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728209442128273))-π/2
    2×atan(0.482772649010756)-π/2
    2×0.449770989881072-π/2
    0.899541979762144-1.57079632675     		φ = -0.67125435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67125435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.460041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49384 KachelY 80727 -0.77427680 -0.67125435 -44.362793 -38.460041
    Oben rechts KachelX + 1 49385 KachelY 80727 -0.77422887 -0.67125435 -44.360047 -38.460041
    Unten links KachelX 49384 KachelY + 1 80728 -0.77427680 -0.67129188 -44.362793 -38.462192
    Unten rechts KachelX + 1 49385 KachelY + 1 80728 -0.77422887 -0.67129188 -44.360047 -38.462192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67125435--0.67129188) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dl = 239.103629999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67125435--0.67129188) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dr = 239.103629999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77427680--0.77422887) × cos(-0.67125435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78304211568223 × 6371000     		do = 239.111330020367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77427680--0.77422887) × cos(-0.67129188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.783018772646031 × 6371000     		du = 239.104201943447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67125435)-sin(-0.67129188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78304211568223-0.783018772646031)×R²
    abs(-0.77422887--0.77427680)×2.33430361986642e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33430361986642e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33430361986642e-05×40589641000000     		ar = 57171.5348142048m²