Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49381 / 80699
↖ ↑ ↗
← S 38.399796°
W 44.371033°		 ← 239.31 m → S 38.399796°
W 44.368286°		 →
↑
239.36 m
↓
↑
239.36 m
↓
S 38.401949°
W 44.371033°		 ← 239.30 m →
57 280 m²		 S 38.401949°
W 44.368286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376750946044922 y=0.615688323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376750946044922 × 217)
    floor (0.376750946044922 × 131072)
    floor (49381.5)     		tx = 49381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615688323974609 × 217)
    floor (0.615688323974609 × 131072)
    floor (80699.5)     		ty = 80699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49381 / 80699 ti = "17/49381/80699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49381/80699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49381 ÷ 217
    49381 ÷ 131072     		x = 0.376747131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80699 ÷ 217
    80699 ÷ 131072     		y = 0.615684509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376747131347656 × 2 - 1) × π
    -0.246505737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77442061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615684509277344 × 2 - 1) × π
    -0.231369018554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.726867208938911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77442061} λ = -0.77442061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726867208938911))-π/2
    2×atan(0.483421077556982)-π/2
    2×0.450296721760719-π/2
    0.900593443521439-1.57079632675     		φ = -0.67020288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77442061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.371033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67020288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.399796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49381 KachelY 80699 -0.77442061 -0.67020288 -44.371033 -38.399796
    Oben rechts KachelX + 1 49382 KachelY 80699 -0.77437268 -0.67020288 -44.368286 -38.399796
    Unten links KachelX 49381 KachelY + 1 80700 -0.77442061 -0.67024045 -44.371033 -38.401949
    Unten rechts KachelX + 1 49382 KachelY + 1 80700 -0.77437268 -0.67024045 -44.368286 -38.401949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67020288--0.67024045) × R
    3.75700000000423e-05 × 6371000     		dl = 239.358470000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67020288--0.67024045) × R
    3.75700000000423e-05 × 6371000     		dr = 239.358470000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77442061--0.77437268) × cos(-0.67020288) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.783695664113498 × 6371000     		do = 239.310898895488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77442061--0.77437268) × cos(-0.67024045) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.783672327142909 × 6371000     		du = 239.303772670775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67020288)-sin(-0.67024045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783695664113498-0.783672327142909)×R²
    abs(-0.77437268--0.77442061)×2.3336970589205e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3336970589205e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3336970589205e-05×40589641000000     		ar = 57280.2377595976m²