Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49379 / 80256
↖ ↑ ↗
← S 37.439974°
W 44.376526°		 ← 242.51 m → S 37.439974°
W 44.373779°		 →
↑
242.48 m
↓
↑
242.48 m
↓
S 37.442155°
W 44.376526°		 ← 242.50 m →
58 802 m²		 S 37.442155°
W 44.373779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376735687255859 y=0.612308502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376735687255859 × 217)
    floor (0.376735687255859 × 131072)
    floor (49379.5)     		tx = 49379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612308502197266 × 217)
    floor (0.612308502197266 × 131072)
    floor (80256.5)     		ty = 80256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49379 / 80256 ti = "17/49379/80256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49379/80256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49379 ÷ 217
    49379 ÷ 131072     		x = 0.376731872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80256 ÷ 217
    80256 ÷ 131072     		y = 0.6123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376731872558594 × 2 - 1) × π
    -0.246536254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.77451649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    -0.224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.705631162407227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77451649} λ = -0.77451649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705631162407227))-π/2
    2×atan(0.493796809896305)-π/2
    2×0.458672753868773-π/2
    0.917345507737545-1.57079632675     		φ = -0.65345082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77451649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.376526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65345082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.439974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49379 KachelY 80256 -0.77451649 -0.65345082 -44.376526 -37.439974
    Oben rechts KachelX + 1 49380 KachelY 80256 -0.77446855 -0.65345082 -44.373779 -37.439974
    Unten links KachelX 49379 KachelY + 1 80257 -0.77451649 -0.65348888 -44.376526 -37.442155
    Unten rechts KachelX + 1 49380 KachelY + 1 80257 -0.77446855 -0.65348888 -44.373779 -37.442155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65345082--0.65348888) × R
    3.80600000000619e-05 × 6371000     		dl = 242.480260000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65345082--0.65348888) × R
    3.80600000000619e-05 × 6371000     		dr = 242.480260000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77451649--0.77446855) × cos(-0.65345082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793990673399832 × 6371000     		do = 242.505188976083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77451649--0.77446855) × cos(-0.65348888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.793967535011292 × 6371000     		du = 242.498121916641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65345082)-sin(-0.65348888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793990673399832-0.793967535011292)×R²
    abs(-0.77446855--0.77451649)×2.31383885401781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31383885401781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31383885401781e-05×40589641000000     		ar = 58801.8644700658m²